《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

例1. 已知 $ a ＞ b $,下列结论：① $ a^{2} ＞ ab $；② $ a^{2} ＞ b^{2} $；③若 $ b ＜ 0 $,则 $ a + b ＜ 2b $；④若 $ b ＞ 0 $,则 $ \frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b} $.其中正确的个数是(A)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： A

变式1.1 已知 $ a ＞ b ＞ 0 $.
(1)比较大小：$ a^{2} + b^{2} $＞$ 2ab $；(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”“$ \geqslant $”或“$ \leqslant $”)
(2)求证：$ \frac{a + b}{2} ＞ \frac{2ab}{a + b} $.
证明：因为 $a ＞ b ＞ 0$，所以 $a + b ＞ 0$，$(a - b)^2 ＞ 0$，即 $a^2 + 2ab + b^2 ＞ 4ab$，$(a + b)^2 ＞ 4ab$，两边同时除以 $2(a + b)$（$2(a + b) ＞ 0$，不等号方向不变），可得 $\frac{a + b}{2} ＞ \frac{2ab}{a + b}$。

答案：
(1) $＞$
(2) 证明如上。

例2. $ x = 1 $ 不是下列哪个不等式的解(A)
A.$ 2x + 1 ＞ 4 $
B.$ 2x - 1 ＞ 0 $
C.$ 2x + 3 \geqslant 5 $
D.$ -2x + 1 ＜ 1 $

答案： A

变式2.1 解不等式 $ 7 - 2x ＞ (1 - \sqrt{6})^{2} $,把它的解集在数轴上表示出来,并求出它的正整数解.

答案： 首先，计算$(1 - \sqrt{6})^{2}$的值，
$(1 - \sqrt{6})^{2} = 1 - 2\sqrt{6} + 6 = 7 - 2\sqrt{6}$
将计算结果代入原不等式，
$7 - 2x ＞ 7 - 2\sqrt{6}$
化简不等式，
$-2x ＞ - 2\sqrt{6}$
$x ＜ \sqrt{6}$
由于$\sqrt{6} \approx 2.449$，所以不等式的解集为，
$x \in (-\infty, \sqrt{6})$
在数轴上表示解集，即为一个向左开放的区间，端点为$\sqrt{6}$。
最后，找出解集中的正整数，
由于$\sqrt{6} \approx 2.449$，所以解集中的正整数解为$1$，$2$。

例3. 解不等式组：
(1)$ \begin{cases} x - 1 ＞ -2(x - 1) + 3, \\ x - 8 ＜ 4x + 1; \end{cases} $
(2)$ \begin{cases} 2x - 1 ＜ -9, \\ 1 - x \geqslant \frac{2 + x}{3}. \end{cases} $

答案：
(1)
解不等式$x - 1 ＞ -2(x - 1) + 3$：
$x - 1 ＞ -2x + 2 + 3$
$x - 1 ＞ -2x + 5$
$x + 2x ＞ 5 + 1$
$3x ＞ 6$
$x ＞ 2$
解不等式$x - 8 ＜ 4x + 1$：
$x - 4x ＜ 1 + 8$
$-3x ＜ 9$
$x ＞ -3$
不等式组的解集为$x ＞ 2$
(2)
解不等式$2x - 1 ＜ -9$：
$2x ＜ -9 + 1$
$2x ＜ -8$
$x ＜ -4$
解不等式$1 - x \geqslant \frac{2 + x}{3}$：
$3(1 - x) \geqslant 2 + x$
$3 - 3x \geqslant 2 + x$
$-3x - x \geqslant 2 - 3$
$-4x \geqslant -1$
$x \leqslant \frac{1}{4}$
不等式组的解集为$x ＜ -4$