《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

1. 先化简,再求值：$(\frac{1}{x - 1} - \frac{x}{1 - x}) ÷ \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 1}$,其中$x = -\frac{1}{3}$。

答案： 解:$(\frac {1}{x-1}-\frac {x}{1-x})÷\frac {x+1}{x^{2}-2x+1}$
$=(\frac {1}{x-1}+\frac {x}{x-1})\cdot \frac {(x-1)^{2}}{x+1}$
考出好成绩 8年级上册.数学.QD
$=\frac {x+1}{x-1}\cdot \frac {(x-1)^{2}}{x+1}$
$=x-1.$
当$x=-\frac {1}{3}$时,原式$=-\frac {1}{3}-1=-\frac {4}{3}.$

2. 先化简,再求值：$(\frac{a^2}{b} - a) ÷ \frac{a^2 - b^2}{b}$,其中$a = 2b$,$b \neq 0$。

答案： 解:$(\frac {a^{2}}{b}-a)÷\frac {a^{2}-b^{2}}{b}$
$=\frac {a^{2}-ab}{b}\cdot \frac {b}{(a+b)(a-b)}$
$=\frac {a(a-b)}{b}\cdot \frac {b}{(a+b)(a-b)}$
$=\frac {a}{a+b}.$
当$a=2b$时,原式$=\frac {2b}{2b+b}=\frac {2b}{3b}=\frac {2}{3}.$

3. 已知$a - b - 1 = 0$,求代数式$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$的值。

答案： 解:原式$=\frac {3a-6b+3b}{(a-b)^{2}}=\frac {3(a-b)}{(a-b)^{2}}=\frac {3}{a-b}.$
$\because a-b-1=0,\therefore a-b=1,$
∴原式$=\frac {3}{1}=3.$

4. 先化简$(x - 1 - \frac{3}{x + 1}) ÷ \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$,然后从$-1$,$1$,$2$这三个数中选一个合适的数代入求值。

答案： 解:$(x-1-\frac {3}{x+1})÷\frac {x^{2}-4}{x^{2}+2x+1}$
$=[\frac {(x-1)(x+1)}{x+1}-\frac {3}{x+1}]\cdot \frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-4}$
$=\frac {x^{2}-4}{x+1}\cdot \frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-4}$
$=x+1.$
$\because x+1≠0,x^{2}+2x+1≠0,x^{2}-4≠0,$
$\therefore x≠-1,x≠\pm 2.$
当$x=1$时,原式$=1+1=2.$

5. (2025 东营中考改编)先化简,再求值：$\frac{a^2 - 6a + 9}{a - 2} ÷ (a + 2 + \frac{5}{2 - a})$,其中$a是使a \leq 3$成立的正整数。

答案： 解:原式$=\frac {(a-3)^{2}}{a-2}÷\frac {(a+2)(a-2)-5}{a-2}$
$=\frac {(a-3)^{2}}{a-2}\cdot \frac {a-2}{a^{2}-9}$
$=\frac {(a-3)^{2}}{a-2}\cdot \frac {a-2}{(a-3)(a+3)}$
$=\frac {a-3}{a+3}.$
$\because a≤3$且a为正整数,
$\therefore a=1,2,3.$
又$\because a-2≠0,(a-3)(a+3)≠0,$
$\therefore a≠2,3,-3,$
$\therefore a=1.$
当$a=1$时,原式$=\frac {1-3}{1+3}=-\frac {1}{2}.$