《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

5. 如图,直角三角板$ABC的直角顶点C在直线l$上,$\angle B= 30^{\circ}$,$\angle \alpha=110^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为(B)

A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： B

6. 如图,$D,E两点分别在\triangle ABC的两边AB,AC$上,连接$DE$,已知$\angle 1+\angle 2= \alpha$,则$\angle A= $(C)

A.$\alpha - 90^{\circ}$
B.$180^{\circ}-\alpha$
C.$\alpha - 180^{\circ}$
D.$360^{\circ}-\alpha$

答案： C

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 30^{\circ}$,$\angle B= 60^{\circ}$,$CE平分\angle ACB$.
(1)求$\angle ACE$的度数;
(2)若$CD\perp AB于点D$,$\angle CDF= 75^{\circ}$,求证:$\triangle CFD$是直角三角形.

答案： 解:
(1)
∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,
∴∠ACB=90°,
　又
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.
(2)证明:
∵CD⊥AB,∠B=60°,
∴∠BCD=30°,
∴∠DCF=∠BCE−∠BCD=15°.
　又
∵∠CDF=75°,
∴∠CFD=180°−∠DCF−∠CDF=90°,
∴△CFD是直角三角形.

8. 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段,完成所提出的问题.
(1)115°如图1所示,$\triangle ABC$中,$\angle ABC,\angle ACB的平分线交于点O$,$\angle A= 50^{\circ}$,$\angle BOC= $____;
(2)如图2所示,$\angle ABC,\angle ACD的平分线交于点O$,求证:$\angle BOC= \frac{1}{2}\angle A$;
(3)如图3所示,$\angle CBD,\angle BCE的平分线交于点O$,写出$\angle BOC与\angle A$的关系,并说明理由.

答案： 解:
(1)115°.
(2)证明:
∵BO,CO分别平分∠ABC,∠ACD,
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠2=$\frac{1}{2}$∠ACD.
∵∠ACD=∠ABC+∠A,∠2=∠1+∠BOC,
∴∠BOC=∠2−∠1=$\frac{1}{2}$∠ACD−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠ACD−∠ABC)=$\frac{1}{2}$∠A.
(3)∠BOC=90°−$\frac{1}{2}$∠A.理由如下:
∵BO,CO分别平分∠CBD,∠BCE,
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CBD,∠2=$\frac{1}{2}$∠BCE,
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠CBD+∠BCE)
　=$\frac{1}{2}$[(180°−∠ABC)+(180°−∠ACB)]
　=$\frac{1}{2}$[360°−(∠ABC+∠ACB)]
　=$\frac{1}{2}$[360°−(180°−∠A)]
　=90°+$\frac{1}{2}$∠A,
∴∠BOC=180°−(∠1+∠2)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.