《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

例5. 易错点 解分式方程时忽略各步骤的注意事项而出错 解分式方程$\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^{2} - 1}$分以下四步,其中错误的一步是 (D)
A.最简公分母是$(x + 1)(x - 1)$
B.去分母,得$2(x - 1) + 3(x + 1) = 6$
C.解整式方程,得$x = 1$
D.原方程的解为$x = 1$

答案： D

变式5.1 若关于$x的方程\frac{mx + 1}{x} = 8的解为x = \frac{1}{4}$,则$m = $4.

答案： 4

变式5.2 解方程：
(1)$\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{4}{x^{2} - 4x + 4}$；
(2)$\frac{3}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} - 1$。

答案：
(1)方程两边乘$(x-2)^2$,
得$x(x-2)-(x-2)^2=4$,
解得$x=4$.
检验:当$x=4$时,$(x-2)^2≠0$,
∴原方程的解是$x=4$.
(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$,
得$3(x-1)=x(x+1)-(x+1)(x-1)$,
解得$x=2$.
检验:当$x=2$时,$(x+1)(x-1)≠0$,
∴原分式方程的解是$x=2$.

例6. DeepSeek掀起了“人工智能”的热潮,某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型$R_{1}和R_{2}$共同处理一批数据。已知$R_{2}单独处理数据的时间比R_{1}$少2小时,若两模型合作处理,仅需1.5小时即可完成。设$R_{2}单独处理需要x$小时,则可列方程为$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{1.5}$.

答案： $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{1.5}$

变式6.1 为了健全分时电价机制,引导电动汽车在用电低谷时段充电,某市实施峰谷分时电价制度,用电高峰时段(简称峰时)：7:00 - 23:00,用电低谷时段(简称谷时)：23:00 - 次日7:00,峰时电价比谷时电价高0.2元/度。市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电,某月的峰时电费为50元,谷时电费为30元,并且峰时用电量与谷时用电量相等,求该市谷时电价。

答案： 解:设该市谷时电价为x元/度,则峰时电价(x+0.2)元/度.
根据题意,得$\frac{50}{x+0.2}=\frac{30}{x}$,
解得$x=0.3$.
经检验,$x=0.3$是原方程的解,且符合题意.
答:该市谷时电价0.3元/度.

例7. 已知$x : y = 4 : 3$,并且$y是x$,$z$的比例中项,则$y : z$的值为 (B)
A.3 : 4
B.4 : 3
C.9 : 16
D.16 : 9

答案： B

变式7.1 在一幅地图上,图上距离与实际距离的比是1 : 200 000。如果$A$,$B$两地在地图上的距离是5厘米,那么$A$,$B$两地的实际距离是多少千米？

答案： 解:设A,B两地的实际距离是x厘米.
列比例式,得$5:x=1:200000$.
根据比例的基本性质,得$x=5×200000$,
即$x=1000000$,
1000000厘米=10千米.
答:A,B两地的实际距离是10千米.