《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

1. 解分式方程：
(1) $\frac{2x}{3x + 3} + 2 = \frac{x}{x + 1}$；
(2) $\frac{3}{(y - 1)(y + 2)} + 1 = \frac{y}{y - 1}$。

答案： 1.解:
(1)方程两边都乘(3x+3),
得2x+2(3x+3)=3x,
解得x=-$\frac{6}{5}$.
经检验,x=-$\frac{6}{5}$是原方程的根.
(2)方程两边都乘(y-1)(y+2),
得3+$y^2$+y-2=$y^2$+2y,解得y=1.
经检验,y=1是原方程的增根,
∴原方程无解.

2. 周末某校组织部分师生乘坐大巴车前往爱国主义实践教育基地参观学习,基地离学校有 $90$ km,大巴车 $7:00$ 从学校出发,王老师因事耽误,$7:30$ 从学校自驾小汽车以大巴车的 $1.5$ 倍速度追赶,结果比大巴车提前 $15$ 分钟到达基地。问：
(1) 大巴车与小汽车的平均速度各是多少？
(2) 王老师追上大巴车时,距离基地的路程还有多远？

答案： 2.解:
(1)设大巴车的平均速度为x km/h,则小汽车的平均速度为1.5x km/h.
根据题意,得$\frac{90}{x}$=$\frac{90}{1.5x}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$,解得x=40,
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意.
答:大巴车的平均速度为40 km/h,小汽车的平均速度为60 km/h.
(2)设王老师赶上大巴车时,距离基地的路程还有y km,
根据题意,得$\frac{1}{2}$+$\frac{90-y}{60}$=$\frac{90-y}{40}$,解得y=30.
答:王老师追上大巴车时,距离基地的路程还有30 km.

3. 为改善交通现状,市政府决定修建地铁,甲、乙两工程队承包地铁 $1$ 号线的某段修建工作,从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 $3$ 倍；若由甲队先做 $20$ 天,剩下的工程再由甲、乙两队合作 $10$ 天完成。
(1) 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2) 已知甲队每天的施工费用为 $15.6$ 万元,乙队每天的施工费用为 $18.4$ 万元,工程预算的施工费用为 $500$ 万元,为缩短工期,拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程,那么工程预算的施工费用是否够用？ 若不够用,需增加多少万元？

答案： 3.解:
(1)设乙队单独完成这项工程需x天,则甲队单独完成这项工程需3x天.
依题意,得$\frac{30}{3x}$+$\frac{10}{x}$=1,解得x=20.
经检验,x=20是原方程的根,且符合题意,
∴3x=3×20=60.
答:乙队单独完成这项工程需20天,甲队单独完成这项工程需60天.
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,
依题意,得y($\frac{1}{20}$+$\frac{1}{60}$)=1,解得y=15.
需要的施工费用:15×(15.6+18.4)=510(万元).
∵510-500=10(万元),
∴工程预算的施工费用不够用,需增加10万元.