《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

10. 小明在纸上书写了一个正确的演算过程,同桌小亮一不小心撕坏了一角,如图所示,则撕坏的一角中“■”为 (A)

A.$ \frac{1}{a - 4} $
B.$ \frac{4}{a + 1} $
C.$ \frac{1}{4 - a} $
D.$ - \frac{1}{a + 1} $

答案： A

11. 已知 $ x^{2} + 4x + 4 $ 与 $ |y - 2023| $ 互为相反数,则 $ (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) ÷ (x + y) $ 的值为$\frac{2025}{4046}$。

答案： $\frac{2025}{4046}$

12. (2025 烟台中考)先化简,再求值：$ (2 + m + \frac{4}{m - 2}) ÷ \frac{m}{3m - 6} $,其中 $ m = (-1)^{2025} $。

答案： 解:原式=$\frac{m^2}{m-2}÷ \frac{m}{3(m-2)}$
$=\frac{m^2}{m-2}\cdot \frac{3(m-2)}{m}$
$=3m$.
$\because m=(-1)^{2025}=-1$,
$\therefore$原式=$3× (-1)=-3$.

13. 先化简,再求值：$ (1 + \frac{1}{x - 2}) ÷ \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 4} $,其中 $ 0 \leq x \leq 2 $,选一个合适的整数 $ x $ 代入求值。

答案： 解:原式=$(\frac{x-2}{x-2}+\frac{1}{x-2})\cdot \frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=\frac{x-1}{x-2}\cdot \frac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
$=\frac{x+2}{x-1}$.
$\because 0\leqslant x\leqslant 2$,且$x\neq 1$,$x\neq 2$,
$\therefore$整数$x=0$.
当$x=0$时,原式=$\frac{0+2}{0-1}=-2$.

14. 材料阅读 阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当 $ m \neq n $ 时,$ m^{2} + n \neq m + n^{2} $。可是我见到有这样一个神奇的等式：$ (\frac{a}{b})^{2} + \frac{b - a}{b} = \frac{a}{b} + (\frac{b - a}{b})^{2} $(其中 $ a, b $ 为任意实数,且 $ b \neq 0 $)。你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给 $ a, b $ 取几组特殊值验证一下看看。”
完成下列任务：
(1)请选择两组合适的 $ a, b $ 的值,分别代入材料中的等式,写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立。
① 当 $ a = $2,$ b = $3时,等式为$(\frac{2}{3})^2+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+(\frac{1}{3})^2$,成立(填“成立”或“不成立”)；
② 当 $ a = $3,$ b = $5时,等式为$(\frac{3}{5})^2+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}+(\frac{2}{5})^2$,成立(填“成立”或“不成立”)。
(2)对于任意实数 $ a, b(b \neq 0) $,通过计算说明 $ (\frac{a}{b})^{2} + \frac{b - a}{b} = \frac{a}{b} + (\frac{b - a}{b})^{2} $ 是否成立。
解:
(1)①2;3;$(\frac{2}{3})^2+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+(\frac{1}{3})^2$;成立.
②3;5;$(\frac{3}{5})^2+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}+(\frac{2}{5})^2$;成立.
(2)$\because$左边=$(\frac{a}{b})^2+\frac{b-a}{b}=\frac{a^2+b(b-a)}{b^2}=\frac{a^2-ab+b^2}{b^2}$,
右边=$\frac{a}{b}+(\frac{b-a}{b})^2=\frac{ab}{b^2}+\frac{a^2-2ab+b^2}{b^2}=\frac{a^2-ab+b^2}{b^2}$,
$\therefore$左边=右边,
$\therefore$对于任意实数$a$,$b(b\neq 0)$,等式$(\frac{a}{b})^2+\frac{b-a}{b}=\frac{a}{b}+(\frac{b-a}{b})^2$成立.

答案： 解:
(1)①2;3;$(\frac{2}{3})^2+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+(\frac{1}{3})^2$;成立.
②3;5;$(\frac{3}{5})^2+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}+(\frac{2}{5})^2$;成立.
(2)$\because$左边=$(\frac{a}{b})^2+\frac{b-a}{b}=\frac{a^2+b(b-a)}{b^2}=\frac{a^2-ab+b^2}{b^2}$,
右边=$\frac{a}{b}+(\frac{b-a}{b})^2=\frac{ab}{b^2}+\frac{a^2-2ab+b^2}{b^2}=\frac{a^2-ab+b^2}{b^2}$,
$\therefore$左边=右边,
$\therefore$对于任意实数$a$,$b(b\neq 0)$,等式$(\frac{a}{b})^2+\frac{b-a}{b}=\frac{a}{b}+(\frac{b-a}{b})^2$成立.