《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $,$ E $ 分别是线段 $ BC $,$ AC $ 上的一点,且 $ AD = AE $.

(1)如图 1,若 $ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ D $ 为 $ BC $ 的中点,则 $ \angle 2 $ 的度数为22.5°；
(2)如图 2,用等式表示 $ \angle 1 $ 与 $ \angle 2 $ 之间的数量关系,并给予证明.

答案：
(1)22.5°.
(2)∠1=2∠2.证明：
∵AD=AE，AB=AC，
∴∠AED=∠ADE，∠B=∠C.
∵∠AED=∠ADE=∠2+∠C，∠ADC=∠B+∠1，
∴∠ADC=∠B+∠1=∠2+∠C+∠2，即∠1=2∠2.

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 70^{\circ} $,$ AB = AC = 8 $,$ D $ 为 $ BC $ 中点,点 $ N $ 在线段 $ AD $ 上,$ NM // AC $ 交 $ AB $ 于点 $ M $,$ BN = 3 $.
(1)求 $ \angle CAD $ 度数；
(2)求 $ \triangle BMN $ 的周长.

答案：
(1)
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.又
∵∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-70°×2=40°.
∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}×40^{\circ}=20^{\circ}$.
(2)
∵NM//AC，
∴∠ANM=∠CAD.又
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠ANM=∠BAD，
∴AM=NM，
∴△BMN的周长=MB+BN+NM=AB+BN=8+3=11.

11. 综合与探究 【问题】如图,在 $ \triangle ABD $ 中,$ BA = BD $. 在 $ BD $ 的延长线上取点 $ E $,$ C $,作 $ \triangle AEC $,使 $ EA = EC $. 若 $ \angle BAE = 90^{\circ} $,$ \angle B = 45^{\circ} $,求 $ \angle DAC $ 的度数.
【答案】$ \angle DAC = 45^{\circ} $.
【思考】(1)如果把以上“问题”中的条件“$ \angle B = 45^{\circ} $”去掉,其余条件不变,那么 $ \angle DAC $ 的度数会改变吗？说明理由；
(2)如果把以上“问题”中的条件“$ \angle B = 45^{\circ} $”去掉,再将“$ \angle BAE = 90^{\circ} $”改为“$ \angle BAE = n^{\circ} $”,其余条件不变,求 $ \angle DAC $ 的度数.

答案：
(1)∠DAC的度数不会改变.理由如下：
∵EA=EC，
∴∠CAE=∠C.①
∵BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠BAE=90°，
∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=\frac{1}{2}[180^{\circ}-(90^{\circ}-2\angle C)]=45^{\circ}+\angle C$，
∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C，②由①②得，∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°-∠C+∠C=45°.
(2)设∠ABC=m°，则∠BAD=$\frac{1}{2}(180^{\circ}-m^{\circ})=90^{\circ}-\frac{1}{2}m^{\circ}$，∠AEB=180°-n°-m°，
∴∠DAE=n°-∠BAD=n°-90°+$\frac{1}{2}m^{\circ}$.
∵EA=EC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠AEB=90°-$\frac{1}{2}n^{\circ}-\frac{1}{2}m^{\circ}$，
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n°-90°+$\frac{1}{2}m^{\circ}+90^{\circ}-\frac{1}{2}n^{\circ}-\frac{1}{2}m^{\circ}=\frac{1}{2}n^{\circ}$.