《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

1. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB//CD,BC与AD的延长线交于点E。求证：AD= CD。

答案： 证明:
∵AB//CD,
∴∠ACD=∠BAC.
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
∴∠ACD=∠DAC,
∴AD=CD.

2. 如图1,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,过点O作BC的平行线分别交AB,AC于点D,E。
(1)请写出图1中线段BD,CE,DE之间的数量关系。并说明理由；

(2)如图2,在△ABC中,若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于点O,过点O作BC的平行线交AB于点D,交AC于点E,那么BD,CE,DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系。

答案： 解:
(1)DE=BD+CE.理由如下:
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠BCO.
∵DE//BC,
∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠BCO,
∴∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO,
∴BD=OD,OE=CE,
∴OD+OE=BD+CE,即DE=BD+CE.
(2)DE=BD - CE.
证明:
∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠FCO.
∵DO//BF,
∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠FCO,
∴∠DOB=∠DBO,∠EOC=∠ECO,
∴BD=OD,OE=CE.
∵DE=OD - OE,
∴DE=BD - CE.

3. 如图,已知$S_{△ABC}= 24m^2,$AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,求$S_{△ADC}$的值。

答案：
解:如图，延长BD交AC于点E.
∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE.
在△ABD和△AED中，
∠BAD=∠EAD,
{AD=AD,
∠BDA=∠EDA,
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴BD=DE,
∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC,
∴S△ADC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×24=12(m²).