《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

9. 已知关于$x$的方程：$\frac{3}{x + 1} + \frac{6}{x - 1} = \frac{mx}{(x + 1)(x - 1)}$,若方程的解为整数,求整数$m$的值.

答案： 解:方程两边同乘(x+1)(x-1),去分母,得(9-m)x=-3,即x=3/m-9.
∵方程的解为整数,m为整数,
∴m-9=±3或m-9=±1,
∴m=12或m=6或m=10或m=8.当m=12或m=6时,原方程无解,
∴m=10或m=8.

10. 阅读理解,并解决问题.
分式方程的增根：解分式方程时可能会产生增根,原因是什么呢？事实上,解分式方程时产生增根,主要是在去分母这一步造成的. 根据等式的基本性质$2$：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为$0$的数,结果仍相等,但是,当等式两边同乘$0$时,就会出现$0 = 0$的特殊情况,因此,解方程时,方程左右两边不能同乘$0$,而去分母时会在方程左右两边同乘最简公分母,此时无法知道所乘的最简公分母的值是否为$0$,于是,未知数的取值范围可能就扩大了. 如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的最简公分母值为$0$,此根即为增根,增根是整式方程的根,但不是原分式方程的根. 所以解分式方程必须验根,请根据阅读材料解决问题：
(1)若解分式方程$\frac{1 - x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$时产生了增根,这个增根是x=2；
(2)小明认为解分式方程$\frac{2x}{x^{2} + 1} - \frac{3}{2x^{2} + 2} = 0$时,不会产生增根,请你直接写出原因；
(3)解方程：$\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$.

答案： 解:
(1)x=2.
(2)
∵原分式方程的最简公分母为2(x²+1),而2(x²+1)＞0,
∴解这个分式方程不会产生增根.
(3)方程两边都乘(x-1)(x+1),得2(x+1)+(x-1)=4.解得x=1.检验,当x=1时,(x-1)(x+1)=0,
∴x=1是原方程的增根,原方程无解.