《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

12. 开放性设问 请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简该分式.$a^{2}-1$；$ab - b$；$b + ab$.

答案： 解:$\frac{a^{2}-1}{ab-b}=\frac{(a+1)(a-1)}{b(a-1)}=\frac{a+1}{b}$.（答案不唯一）

13. 先约分,再求值：$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}$,其中$a = -2$,$b= \frac{1}{2}$.

答案： 解:$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b+4ab^{2}}$$=\frac{a(a^{2}-4b^{2})}{a(a^{2}-4ab+4b^{2})}$$=\frac{a(a+2b)(a-2b)}{a(a-2b)^{2}}$$=\frac{a+2b}{a-2b}$.当$a=-2,b=\frac{1}{2}$时,原式$=\frac{-2+2× \frac{1}{2}}{-2-2× \frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.

14. 若$a - b + 2ab = 0$,求$\frac{a + 3ab - b}{2a - 2b + 7ab}$的值.

答案： 解:$\because a-b+2ab=0$,$\therefore a-b=-2ab$,$\therefore$原式$=\frac{(a-b)+3ab}{2(a-b)+7ab}$$=\frac{-2ab+3ab}{-4ab+7ab}$$=\frac{1}{3}$.

15. 小明同学在解答下列问题时,给出了两种解法.
化简：$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}$.
解法1：$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}= \frac{(a + b)(a - b)}{a + b}= a - b$.
解法2：$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}= \frac{(a^{2}-b^{2})(a - b)}{(a + b)(a - b)}= \frac{(a^{2}-b^{2})(a - b)}{a^{2}-b^{2}}= a - b$.
你认为小明同学的两种解法都正确吗？若不正确,请说明理由.

答案： 解:解法1正确,解法2错误.理由如下:$\because \frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}$是分式,根据分式有意义的条件$a+b\neq 0$.解法1:给分式的分子、分母同除以$a+b(a+b\neq 0)$,分式值不变,故解法1正确;解法2:给分式的分子、分母同乘$a-b$,但是不能判断$a-b$是否等于0,所以根据分式的基本性质,解法2错误.

16. 新定义 如果一个分式的分子或分母可以因式分解,且这个分式不可约分,那么我们称这个分式为“和谐分式”.
(1)下列分式中,②是和谐分式(填序号)；
①$\frac{x - 1}{x^{2}+1}$；②$\frac{a - 2b}{a^{2}-b^{2}}$；③$\frac{x + y}{x^{2}-y^{2}}$；④$\frac{a^{2}-b^{2}}{(a + b)^{2}}$.
(2)若$a$为正整数,且$\frac{x - 1}{x^{2}+ax + 4}$为和谐分式,则$a=$4或5；
(3)利用和谐分式,化简$\frac{4a^{2}}{ab^{2}-b^{3}}-\frac{4a}{b^{2}}$.
解:原式$=\frac{4a^{2}}{b^{2}(a-b)}-\frac{4a}{b^{2}}$$=\frac{4a^{2}-4a(a-b)}{b^{2}(a-b)}$$=\frac{4a}{b(a-b)}$.

答案： 解:
(1)②.
(2)4或5.
(3)原式$=\frac{4a^{2}}{b^{2}(a-b)}-\frac{4a}{b^{2}}$$=\frac{4a^{2}-4a(a-b)}{b^{2}(a-b)}$$=\frac{4a}{b(a-b)}$.