《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

例1. 黑板上写有3个命题：
①若$a = b$,则$a^{2} = b^{2}$；
②若$a$,$b$是有理数,则$\vert a + b\vert = \vert a\vert + \vert b\vert$；
③若$\angle A与\angle B$都是锐角,则这两个角的和是钝角.
(1)上述命题是真命题的是①(填序号),该命题的条件是$a = b$,结论是$a^{2} = b^{2}$；
(2)对于上述命题中的假命题,请各写出一个反例.
(2)反例:
②当$a=1$,$b=-1$时,$|a+b|=|1+(-1)|=0$,$|a|+|b|=|1|+|-1|=2$;
③当$\angle A=30^{\circ}$,$\angle B=40^{\circ}$时,$\angle A$与$\angle B$都是锐角,$\angle A +\angle B=70^{\circ}$.

答案：
(1)①;a=b;a²=b².
(2)反例:
②当a=1,b=-1时,|a+b|=|1+(-1)|=0,|a|+|b|=|1|+|-1|=2;
③当∠A=30°,∠B=40°时,∠A与∠B都是锐角,∠A +∠B=70°.

变式1.1下列语句中,是定义的是 (B)
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线
C.三角形的角平分线是一条线段
D.同角的余角相等

答案： B

变式1.2下列命题的逆命题是真命题的是 (C)
A.如果$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,则$a + b ＞ 0$
B.直角都相等
C.两直线平行,同位角相等
D.若$a = b$,则$\vert a\vert = \vert b\vert$

答案： C

例2. 已知实数$a$,$b$,$c满足a + b + c = 0$,$\vert a\vert ＞ \vert b\vert ＞ \vert c\vert$,则下列结论可能成立的是 (C)
A.$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,$c ＜ 0$
B.$a ＞ 0$,$c ＞ 0$,$b ＜ 0$
C.$a ＜ 0$,$b ＞ 0$,$c ＞ 0$
D.$a ＜ 0$,$c ＜ 0$,$b ＞ 0$

答案： C

变式2.1设$a$,$b$,$c$为互不相等的实数,且$b = \frac{4}{5}a + \frac{1}{5}c$,则下列结论正确的是 (D)
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$a - b = 4(b - c)$
D.$a - c = 5(a - b)$

答案： D

例3. 如图,$\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$,$\angle 3 = \angle B$.
(1)求证：$AB // EF$；
(2)试判断$DE与BC$的位置关系,并证明你的结论.

答案：
(1)证明:
∵∠1+∠2=180°,∠1+∠DFE =180°,
∴∠DFE=∠2,
∴AB//EF.
(2)DE//BC.
证明:由
(1)知AB//EF,
∴∠ADE=∠3.
又
∵∠3=∠B,
∴∠ADE=∠B,
∴DE//BC.

例4. 将三角尺($\triangle MPN$,$\angle MPN = 90^{\circ}$)放置在$\triangle ABC$上(点$P在\triangle ABC$内),如图1所示,三角尺的两边$PM$,$PN恰好经过点B和点C$,我们来研究$\angle ABP与\angle ACP$是否存在某种数量关系.
(1)特例探究：若$\angle A = 50^{\circ}$,则$\angle PBC + \angle PCB = $90度,$\angle ABP + \angle ACP = $40度；
(2)类比探究：$\angle ABP$,$\angle ACP$,$\angle A$的关系是∠ABP+∠ACP=90°−∠A；
(3)变式探究：如图2所示,改变三角尺的位置,使点$P在\triangle ABC$外,三角尺的两边$PN$,$PM恰好经过点B和点C$,探究$\angle ABP$,$\angle ACP$,$\angle A$的关系.

设AB交PC于点O,如图2.∵∠AOC=∠POB,∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A.

答案：
(1)90;40.
(2)∠ABP+∠ACP=90°−∠A.
(3)设AB交PC于点O,如图2.
∵∠AOC=∠POB,
∴∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,
即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,
∴∠ACP−∠ABP=90°−∠A.