《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

变式4.1如图,在$\triangle ABC$中,$AD \perp BC于点D$,$AE平分\angle BAC$.
(1)若$\angle C = 70^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；

(2)若$\angle C - \angle B = 20^{\circ}$,则$\angle DAE = $10°；
(3)若$\angle C - \angle B = \alpha(\angle C ＞ \angle B)$,求$\angle DAE$的度数(用含$\alpha$的代数式表示).

答案：
(1)
∵AD⊥BC于点D,
AE平分∠BAC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,∠BAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠C=70°,∠B=30°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=80°,∠CAD=90°−∠C =20°,
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC−∠CAD
=$\frac{1}{2}$×80°−20°=20°.
(2)10°.
(3)
∵∠BAC=180°−∠B−∠C,∠CAD=90°−∠C,
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD
=$\frac{1}{2}$∠BAC−∠CAD
=$\frac{1}{2}$(180°−∠B−∠C)−(90°−∠C)
=90°−$\frac{1}{2}$∠B−$\frac{1}{2}$∠C−90°+∠C
=$\frac{1}{2}$∠C−$\frac{1}{2}$∠B
=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B).
∵∠C−∠B=α,
∴∠DAE=$\frac{α}{2}$.

例5. 用反证法证明命题“在同一平面内,若直线$a \perp c$,$b \perp c$,则$a // b$”时,应假设 (B)
A.$a // b$
B.$a与b$不平行
C.$b // c$
D.$a \perp b$

答案： B

变式5.1如图,在同一平面内,已知$AB \perp直线l于点F$,$CD与直线l$相交(且不垂直)于点$E$. 求证：$AB与CD$必相交.

证明：假设$AB与CD$不相交,则AB//CD.
$\because AB \perp l$,$\therefore CD \perp l$,
这与$CD与直线l$不垂直相矛盾.
$\therefore假设AB与CD$不相交不成立.
$\therefore AB与CD$必相交.

答案： AB CD 不成立 必相交