《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

8. 新定义 对于任意有理数 $ a,b,c,d $,规定 $ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $,已知 $ \begin{vmatrix} x & y \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 5 $.
(1) 用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $;
(2) 若 $ y + 3x \geq k $ 的正整数解 $ x $ 只有 3 个,求 $ k $ 的取值范围.

答案： 8. 解：
(1)
∵$\begin{vmatrix} x&y\\ -1&4\end{vmatrix} =5$，
∴4x + y = 5，
∴y = - 4x + 5.
(2)
∵y + 3x ≥ k的正整数解只有3个，
∴ - 4x + 5 + 3x ≥ k，即x ≤ - k + 5的正整数解只有3个，
∴3 ≤ - k + 5 ＜ 4，
∴1 ＜ k ≤ 2.

9. 已知有关 $ x $ 的方程 $ \frac{x + 1}{2} = 1 - \frac{x - 1}{5} $ 的解也是不等式 $ 2x - 3a ＜ 5 $ 的一个解,求满足条件的整数 $ a $ 的最小值.

答案： 9. 解：方程去分母，得5(x + 1) = 10 - 2(x - 1)，整理，得7x = 7，解得x = 1. 把x = 1代入2x - 3a ＜ 5，得2 - 3a ＜ 5，解得a ＞ - 1.
∴整数a的最小值为0.

10. 已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ x - 2y = k \end{cases} $ 的解满足 $ x ＞ y $,求 $ k $ 的取值范围.

答案： 10. 解：$\left\{\begin{array}{l} 2x-3y=5,\enclose{circle}{1}\\ x-2y=k.\enclose{circle}{2}\end{array}\right. $ ① - ②，得x - y = 5 - k.
∵x ＞ y，
∴x - y ＞ 0，
∴5 - k ＞ 0，解得k ＜ 5.

11. 关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x - y = a - 4, \\ x + y = 2a + 1 \end{cases} $ 的解满足 $ x $ 为非正数,$ y $ 为正数.
(1) 求 $ a $ 的取值范围;
(2) 已知不等式 $ ax + x ＞ a + 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $,请求出所有满足条件的整数 $ a $ 的值.

答案： 11. 解：
(1)$\left\{\begin{array}{l} 2x-y=a-4,\enclose{circle}{1}\\ x+y=2a+1.\enclose{circle}{2}\end{array}\right. $ ① + ②，得3x = 3a - 3，解得x = a - 1. 把x = a - 1代入②，得a - 1 + y = 2a + 1，解得y = a + 2.
∴方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x=a-1,\\ y=a+2.\end{array}\right. $
∵关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-y=a-4,\\ x+y=2a+1\end{array}\right. $的解满足x为非正数，y为正数，
∴$\left\{\begin{array}{l} a-1\leqslant 0,\\ a+2＞0,\end{array}\right. $ 解得 - 2 ＜ a ≤ 1.
(2)
∵ax + x ＞ a + 1，
∴(a + 1)x ＞ a + 1.
∵不等式ax + x ＞ a + 1的解集为x ＞ 1，
∴a + 1 ＞ 0，
∴a ＞ - 1.
∵ - 2 ＜ a ≤ 1，
∴ - 1 ＜ a ≤ 1.
∴满足条件的整数a的值为0，1.