《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$EF$ 垂直平分 $AC$,交 $BC$ 于点 $E$,交 $AC$ 于点 $F$,$D$ 是 $BE$ 的中点,连接 $AD$,$AE$,若 $AB = AE$,$\angle BAD = 24^{\circ}$,求 $\angle C$ 的度数.

答案：
∵D是BE的中点，
∴BD=ED.
又
∵AB=AE,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SSS),
∴∠ADB=∠ADE,∠BAD=∠EAD,
∴AD⊥BC,∠BAE=2∠BAD=48°.
∵AD⊥BC,BA=AE,EF垂直平分AC,
∴AB=AE=EC,
∴△AEC是等腰三角形，
∴∠C=∠CAE.
∵∠BAE=48°,∠B=∠AED,
∴∠AED=$\frac{1}{2}$×(180°-48°)=66°,
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AED=33°.

8. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB// CD$,点 $E$ 是 $BC$ 的中点,$DE$ 平分 $\angle ADC$. 试说明：$AE$ 是 $\angle DAB$ 的平分线.

答案：
过点E作EH⊥AB于点H,反向延长EH交DC的延长线于点G,过点E作EF⊥AD于点F.

∵AB//CD,EH⊥AB,
∴EG⊥DC.
∵点E是BC的中点,
∴CE=BE.
在△CGE与△BHE中,
$\left\{\begin{array}{l}∠GCE=∠B,\\ CE=BE,\\ ∠CEG=∠BEH,\end{array}\right.$
∴△CGE≌△BHE(ASA),
∴GE=EH.
∵DE平分∠ADC,
∴GE=EF,
∴EF=EH,
∴AE是∠DAB的平分线