《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

8. 由于木质衣架没有柔性, 在挂置衣服的时候不太方便操作. 小敏设计了一种衣架, 在使用时能轻易收拢, 然后套进衣服后松开即可. 如图 1, 衣架杆 $OA = OB = 18\mathrm{cm}$, 若衣架收拢时, $\angle AOB = 60^{\circ}$, 如图 2, 则此时 $A, B$ 两点之间的距离是 18 $\mathrm{cm}$.

答案： 18

9. 如图, $\triangle ABC$ 为等边三角形, $AE = CD, AD, BE$ 相交于点 $P, BQ \perp AD$ 于点 $Q, PQ = 3, PE = 1$.
(1) 求证: $AD = BE$;
(2) 求 $AD$ 的长.

答案： 9.解:
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAE=∠C=60°.
在△ABE和△CAD中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CA,\\ ∠BAE=∠C,\\ AE=CD,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴AD=BE.
(2)
∵△ABE≌△CAD,
∴∠CAD=∠ABE,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=60°.
∵BQ⊥AD,
∴∠AQB=90°,
∴∠PBQ=90°-60°=30°.
∵PQ=3,
∴BP=2PQ=6.
又
∵PE=1,
∴AD=BE=BP+PE=7.

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC$, 点 $D, E, F$ 分别在 $AB, BC, AC$ 边上, 且 $BE = CF, AD + EC = AB$.
(1) $\triangle DEF$ 是等腰三角形吗? 为什么?
(2) 当 $\angle A = 40^{\circ}$ 时, $\angle DEF = $ 70°;
(3) 请你猜想: 当 $\angle A$ 为多少度时, $\angle EDF + \angle EFD = 120^{\circ}$, 并说明理由.

答案： 10.解:
(1)△DEF是等腰三角形.理由如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵AD+EC=AB=AD+DB,
∴DB=EC.
在△DBE和△ECF中,
∵BE=CF,∠B=∠C,DB=EC,
∴△DBE≌△ECF(SAS),
∴DE=EF,
∴△DEF是等腰三角形.
(2)70°.
(3)当∠A为60°时,∠EDF+∠EFD=120°.理由如下:
若∠EDF+∠EFD=120°,则∠DEF=60°,
∴∠CEF+∠DEB=120°,
∴∠BDE+∠DEB=120°,即∠B=60°.
又
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°.