《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

14. 有这样一道题“求$\frac{a^{2}+a}{a^{2}-1}-\frac{a + 1}{a^{2}+2a + 1}÷\frac{a - 1}{a + 1}$的值,其中$a = 2025$”,“小马虎”不小心把$a = 2025错抄成a = 2005$,但他的计算结果却是正确的,请说明原因。

答案： 解:$\frac{a^2+a}{a^2-1}-\frac{a+1}{a^2+2a+1}÷\frac{a-1}{a+1}$
=$\frac{a(a+1)}{(a+1)(a-1)}-\frac{a+1}{(a+1)^2}·\frac{a+1}{a-1}$
=$\frac{a}{a-1}-\frac{1}{a-1}$
=1,
∴算式的值与a无关,
∴“小马虎”不小心把a=2025错抄成a=2005,但他的计算结果却是正确的.

15. 提供方法支架 阅读下列解题过程：
已知$\frac{x}{a - b}= \frac{y}{b - c}= \frac{z}{c - a}$($a$,$b$,$c$互不相等),求$x + y + z$的值。
解：设$\frac{x}{a - b}= \frac{y}{b - c}= \frac{z}{c - a}= k$,
则$x = k(a - b)$,$y = k(b - c)$,$z = k(c - a)$,
$\therefore x + y + z = k(a - b + b - c + c - a)= 0$。
依照上述方法解答下列问题：
已知：$\frac{y + z}{x}= \frac{z + x}{y}= \frac{x + y}{z}$,其中$x + y + z\neq0$,求$\frac{x + y - z}{x + y + z}$的值。

答案： 解:设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$,
则y+z=kx①,x+z=ky②,x+y=kz③,
①+②+③,得2x+2y+2z=k(x+y+z).
∵x+y+z≠0,
∴k=2,
∴原式=$\frac{2z-z}{2z+z}=\frac{z}{3z}=\frac{1}{3}$.

16. 综合与实践【问题提出】(1)请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积。
方法1：$a^2 - b^2$；
方法2：$(a + b)(a - b)$；
【问题应用】(2)若$a + b = 6$,$a^{2}-24 = b^{2}$,求$a和b$的值；
【应用拓展】(3)如图1,“丰收1号”小麦试验田是边长为$a\ m(a＞b＞0)的正方形去掉一个边长为b\ m$的正方形蓄水池后余下的部分。如图2,“丰收2号”小麦试验田是边长为$(a - b)m$的正方形,两块试验田的小麦都收获了$500\ kg$。高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

答案： 解:
(1)$a^2-b^2$;(a+b)(a-b).
(2)
∵$a^2-24=b^2$,
∴$a^2-b^2=24$,
∴(a+b)(a-b)=24.
∵a+b=6,
∴a-b=4,
∴a=5,b=1.
(3)“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为$\frac{500}{(a+b)(a-b)}$kg,
“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为$\frac{500}{(a-b)^2}$kg.
∵a+b＞a-b,
∴$\frac{500}{(a+b)(a-b)}＜\frac{500}{(a-b)^2}$,
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高.
∵$\frac{500}{(a-b)^2}÷\frac{500}{(a+b)(a-b)}=\frac{a+b}{a-b}$,
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a+b}{a-b}$倍.