《2025年考出好成绩八年级数学上册青岛版山东专版》

4. 如图,在等腰直角三角形ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D。求证：BF= 2CD。

答案：
证明:如图,延长BA,CD交于点E.
∵BF平分∠ABC,CD⊥BD,
∴∠DBC=∠DBE,∠BDC=∠BDE=90°.
在△BDC和△BDE中,
∠DBC=∠DBE,
{BD=BD,
∠BDC=∠BDE,
∴△BDC≌△BDE(ASA),
∴CD=DE,
∴CE=2CD.
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∠AFB=∠DFC,
∴∠ABF=∠ACE.
在△ABF和△ACE中,
{∠ABF=∠ACE,
AB=AC,
∠BAF=∠CAE,
∴△ABF≌△ACE(ASA),
∴BF=CE,
∴BF=2CD.

5. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,在AB边上取点D,在AC的延长线上取点E,使得BD= CE,连接DE交BC于点G,求证：DG= EG。

答案：
证明:如图,过点D作DF//AC交BC于点F.
∵DF//AC,
∴∠DFC=∠FCE,∠DFB=∠ACB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠DFB,
∴BD=DF.
∵BD=CE,
∴DF=EC.
∵∠DFG=∠ECG,∠DGF=∠EGC,
∴△DFG≌△ECG(AAS),
∴DG=EG.

6. 如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点P在AB上,过点P作PE⊥AC,垂足为E,延长BC到点Q,使CQ= AP,连接PQ交AC于点D,求DE的长。

答案：
解:如图,过点P作PN//BC交AC于点N,
∴∠APN=∠B.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠APN=∠PAN=60°,
∴△APN是等边三角形,
∴AP=PN.
∵AP=CQ,
∴PN=QC.
∵PN//CQ,
∴∠APD=∠Q,∠PND=∠QCD,
∴△PND≌△QCD(ASA),
∴ND=CD.
∵PE⊥AN,
∴AE=EN,
∴AE+CD=EN+ND=DE=$\frac{1}{2}$AC.
∵AC=4,
∴DE=2.

7. 一题多解 如图,在△ABC中,∠BAC= 108°,AB= AC,BD平分∠ABC,交AC于点D,求证：BC= CD+AB。

答案：
证明:方法1　　截长法:
如图1,在BC上取点E,使BE=BA,连接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD.
在△ABD和△EBD中，
{AB=EB,
∠ABD=∠EBD,
BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BAC=∠BED=108°,
∴∠DEC=72°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=36°,
∴∠CDE=72°,
∴∠CDE=∠CED,
∴CD=CE,则BC=CE+BE=CD+AB.

方法2　　补短法:
如图2,延长BA至点E,使BE=BC,连接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠CBD.
在△EBD和△CBD中,
{EB=CB,
∠EBD=∠CBD,
BD=BD,
∴△EBD≌△CBD(SAS),
∴DE=DC,∠E=∠C.
∵∠BAC=108°,
∴∠EAD=72°,∠E=∠C=36°,
∴∠EDA=∠EAD=72°,
∴EA=ED,
∴CD=DE=AE,
∴BC=BE=AE+AB=CD+AB.