《2025年学习指导用书中职数学》

19. （本小题满分16分）证明：
(1) 函数$y=x^{3}$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数；
(2) 函数$y=\frac {1}{3x}$在$(0,+\infty)$上是减函数。

答案：
(1) 证明：任取$x_{1},x_{2}\in (-\infty,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1}) - f(x_{2})=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})$，因为$x_{1}＜x_{2}$，所以$x_{1}-x_{2}＜0$，$x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+\frac{x_{2}}{2})^{2}+\frac{3x_{2}^{2}}{4}＞0$，所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$，所以$y=x^{3}$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数。
(2) 证明：任取$x_{1},x_{2}\in (0,+\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1}) - f(x_{2})=\frac{1}{3x_{1}}-\frac{1}{3x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{3x_{1}x_{2}}$，因为$x_{1}＜x_{2}$，所以$x_{2}-x_{1}＞0$，$x_{1}x_{2}＞0$，所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＞0$，即$f(x_{1})＞f(x_{2})$，所以$y=\frac{1}{3x}$在$(0,+\infty)$上是减函数。

20. （本小题满分14分）判断下列函数的奇偶性，并证明你的结论。
(1)$f(x)=x^{3}-\frac {1}{x}$；
(2)$f(x)=2x^{2}-|x|$。

答案：
(1) 奇函数
证明：定义域为$(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$，关于原点对称，$f(-x)=(-x)^{3}-\frac{1}{-x}=-x^{3}+\frac{1}{x}=-(x^{3}-\frac{1}{x})=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数。
(2) 偶函数
证明：定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，$f(-x)=2(-x)^{2}-|-x|=2x^{2}-|x|=f(x)$，所以$f(x)$是偶函数。

21. （本小题满分20分）已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}2,-1\leq x\leq 1\\x + 1,1＜x＜3\\4,x\geq 3\end{array}\right.$
(1) 函数$f(x)$的定义域是什么？值域是什么？
(2) 求$f(0),f(1.5),f(5)$的值。
(3) 作出函数$f(x)$的图象。

答案：
(1) 定义域：$[-1,+\infty)$，值域：$\{2\}\cup (2,4)\cup \{4\}=[2,4]$
(2) $f(0)=2$，$f(1.5)=1.5 + 1=2.5$，$f(5)=4$
(3) 图象：在$[-1,1]$上是$y=2$的水平线段，在$(1,3)$上是$y=x + 1$的线段（不含端点$(1,2)$，含$(3,4)$），在$[3,+\infty)$上是$y=4$的水平线段。