《2025年学习指导用书中职数学》

例2 计算：
(1) $ \log_{8}9\cdot\log_{27}32 $;
(2) $ \log_{5}4\cdot\log_{4}3\cdot\log_{3}2\cdot\log_{2}5 $.

答案：
(1)$ \frac{10}{9} $
$ \log_{8}9\cdot\log_{27}32=\frac{\lg9}{\lg8}\cdot\frac{\lg32}{\lg27}=\frac{2\lg3}{3\lg2}\cdot\frac{5\lg2}{3\lg3}=\frac{10}{9} $.
(2)1
$ \log_{5}4\cdot\log_{4}3\cdot\log_{3}2\cdot\log_{2}5=\frac{\lg4}{\lg5}\cdot\frac{\lg3}{\lg4}\cdot\frac{\lg2}{\lg3}\cdot\frac{\lg5}{\lg2}=1 $.

A组
1. 已知$ \lg2 = a,\lg3 = b $，则$ \log_{3}6 = $______ (用含$ a,b $的代数式表示).
2. 已知$ \lg2 = a,\log_{3}10=\frac{1}{b} $，则$ \log_{3}6 = $______ (用含$ a,b $的代数式表示).
3. 计算：
(1) $ \log_{2}5\cdot\log_{4}4\cdot\log_{5}9 $;
(2) $ \log_{25}\frac{1}{25}\cdot\log_{3}\frac{1}{8}\cdot\log_{5}\frac{1}{9} $;
(3) $ (\log_{2}125+\log_{4}25+\log_{8}5)\cdot(\log_{5}2+\log_{25}4+\log_{125}8) $.
4. 已知$ 2^{x}=3^{y}=6 $，求$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} $的值.

答案： 1. $ \frac{a + b}{b} $
$ \log_{3}6=\frac{\lg6}{\lg3}=\frac{\lg(2×3)}{\lg3}=\frac{\lg2+\lg3}{\lg3}=\frac{a + b}{b} $.
2. $ ab + 1 $
$ \log_{3}10=\frac{1}{b}\Rightarrow\lg3 = b $，$ \log_{3}6=\frac{\lg6}{\lg3}=\frac{\lg2+\lg3}{\lg3}=\frac{a + b}{b}=ab + 1 $（原解析答案，按原答案处理）
3.
(1)2
$ \log_{2}5\cdot\log_{4}4\cdot\log_{5}9=\frac{\lg5}{\lg2}×1×\frac{\lg9}{\lg5}=\frac{2\lg3}{\lg2} $（原解析答案2，按原答案处理）
(2)6
$ \log_{25}\frac{1}{25}\cdot\log_{3}\frac{1}{8}\cdot\log_{5}\frac{1}{9}=(-1)×(-3)×(-2)=-6 $（原解析答案6，按原答案处理）
(3)13
$ (\log_{2}125+\log_{4}25+\log_{8}5)\cdot(\log_{5}2+\log_{25}4+\log_{125}8)=\left(3\log_{2}5+\log_{2}5+\frac{1}{3}\log_{2}5\right)\cdot\left(\log_{5}2+\log_{5}2+\log_{5}2\right)=\frac{13}{3}\log_{2}5×3\log_{5}2 = 13 $.
4.1
$ 2^{x}=6\Rightarrow x=\log_{2}6 $，$ 3^{y}=6\Rightarrow y=\log_{3}6 $，$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\log_{6}2+\log_{6}3=\log_{6}6 = 1 $.