《2025年学习指导用书中职数学》

17. (本小题满分8分)计算$ \log_{4}9 \cdot \log_{27}5 \cdot \log_{125}16 $.

答案： $\frac{8}{9}$
解析：原式$= \frac{\lg 9}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 5}{\lg 27} \cdot \frac{\lg 16}{\lg 125} = \frac{2\lg 3}{2\lg 2} \cdot \frac{\lg 5}{3\lg 3} \cdot \frac{4\lg 2}{3\lg 5} = \frac{2 × 1 × 4}{2 × 3 × 3} = \frac{8}{9}$.

18. (本小题满分8分)若$ (\frac{3}{4})^{x} ＜ 1 $,求x的取值范围.

答案： $ x ＞ 0 $
解析：$ (\frac{3}{4})^x ＜ 1 = (\frac{3}{4})^0 $，指数函数$ y = (\frac{3}{4})^x $单调递减，所以$ x ＞ 0 $.

19. (本小题满分8分)已知$ \log_{4}\log_{3}\log_{2}x = 0 $,求x的值.

答案： 8
解析：$ \log_{4}\log_{3}\log_{2}x = 0 \Rightarrow \log_{3}\log_{2}x = 4^0 = 1 \Rightarrow \log_{2}x = 3^1 = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8 $.

20. (本小题满分8分)若a,b是方程$ x^{2} - 30x + 100 = 0 $的两个实根,求$ \lg a + \lg b $的值.

答案： 2
解析：由韦达定理，$ ab = 100 $，$ \lg a + \lg b = \lg(ab) = \lg 100 = 2 $.

21. (本小题满分12分)已知函数$ f(x) = a + b^{x}(b ＞ 0,b \neq 1) $的图象过点(1,4)和(2,16).
(1) 求$ f(x) $的表达式；
(2) 求函数$ g(x) = \log_{b}f(x) + x^{2} - 6 $的最小值.

答案：
(1) 由题意得$\begin{cases} a + b = 4 \\ a + b^2 = 16 \end{cases}$，两式相减得$ b^2 - b - 12 = 0 $，解得$ b = 4 $（$ b ＞ 0 $），则$ a = 0 $，所以$ f(x) = 4^x $;
(2) $ g(x) = \log_{4}4^x + x^2 - 6 = x + x^2 - 6 = x^2 + x - 6 $，对称轴$ x = -\frac{1}{2} $，最小值为$ (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -\frac{25}{4} $.