《2025年学习指导用书中职数学》

3. 设$x＞1$，比较$x^{3}$与$x^{2}-x + 1$的大小。

答案： $x^{3}＞x^{2}-x + 1$
解析：$x^{3}-(x^{2}-x + 1)=x^{3}-x^{2}+x - 1=x^{2}(x - 1)+(x - 1)=(x - 1)(x^{2}+1)$，因为$x＞1$，所以$x - 1＞0$，$x^{2}+1＞0$，则$(x - 1)(x^{2}+1)＞0$，所以$x^{3}＞x^{2}-x + 1$。

B组
1. 设$a＞0$，$b＞0$，比较下列各组中两个代数式的大小。
(1) $\frac{b}{a}$与$\frac{b}{a + 1}$；
(2) $a^{2}-ab + b^{2}$与$ab$。

答案：
(1) $\frac{b}{a}＞\frac{b}{a + 1}$
解析：$\frac{b}{a}-\frac{b}{a + 1}=\frac{b(a + 1)-ab}{a(a + 1)}=\frac{b}{a(a + 1)}$，因为$a＞0$，$b＞0$，所以$\frac{b}{a(a + 1)}＞0$，即$\frac{b}{a}＞\frac{b}{a + 1}$。
(2) $a^{2}-ab + b^{2}\geq ab$
解析：$a^{2}-ab + b^{2}-ab=a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}\geq0$，所以$a^{2}-ab + b^{2}\geq ab$。

2. 若$a＞0$，$b＞0$，则$\frac{a + b}{2}$称为$a$，$b$的算术平均数，$\sqrt{ab}$称为$a$，$b$的几何平均数。
(1) 证明$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当$a = b$时取“$=$”）；
(2) 若$x＞0$，求证：$x+\frac{1}{x}\geq2$；
(3) 若$x＞0$，求$2x+\frac{1}{x}$的最小值；
(4) 若$0＜x＜1$，求$x(1 - x)$的最大值。

答案：
(1) 证明：$\frac{a + b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a - 2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}\geq0$，所以$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当且仅当$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，即$a = b$时取等号。
(2) 证明：因为$x＞0$，所以$x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x = 1$时取等号。
(3) $2\sqrt{2}$
解析：因为$x＞0$，所以$2x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{2x\cdot\frac{1}{x}}=2\sqrt{2}$，当且仅当$2x=\frac{1}{x}$，即$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，所以最小值为$2\sqrt{2}$。
(4) $\frac{1}{4}$
解析：因为$0＜x＜1$，所以$x(1 - x)\leq(\frac{x + 1 - x}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，当且仅当$x = 1 - x$，即$x=\frac{1}{2}$时取等号，所以最大值为$\frac{1}{4}$。