《2025年学习指导用书中职数学》

22. (本小题满分16分)求下列函数的定义域.
(1) $ y = \sqrt{1 - 3^{x + 1}} $;
(2) $ y = \log_{4}(3x - 1) + \frac{1}{5 - 3x} $.

答案：
(1) 由$ 1 - 3^{x + 1} \geq 0 \Rightarrow 3^{x + 1} \leq 1 = 3^0 \Rightarrow x + 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq -1 $，定义域$(-\infty, -1]$;
(2) 由$\begin{cases} 3x - 1 ＞ 0 \\ 5 - 3x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x ＞ \frac{1}{3} \\ x \neq \frac{5}{3} \end{cases}$，定义域$(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, +\infty)$.

23. (本小题满分18分)已知函数 $ f(x) = \log_{3}(2 + x) $, $ g(x) = \log_{3}(2 - x) $.
(1) 求函数 $ y = f(x) - g(x) $ 的定义域；
(2) 求使 $ f(x) \geq g(x) $ 成立的 $ x $ 的取值范围.

答案：
(1) 要使函数有意义，需满足 $\begin{cases}2 + x ＞ 0 \\ 2 - x ＞ 0\end{cases}$，解得 $-2 ＜ x ＜ 2$，定义域为 $(-2, 2)$。
(2) 由 $ f(x) \geq g(x) $ 得 $\log_{3}(2 + x) \geq \log_{3}(2 - x)$，因为对数函数 $ y = \log_3 t $ 单调递增，所以 $2 + x \geq 2 - x$，且 $-2 ＜ x ＜ 2$，解得 $0 \leq x ＜ 2$，取值范围为 $[0, 2)$。