《2025年学习指导用书中职数学》

1. 比较下列各组中几个数的大小.
(1)$ \log_{3}8 $与$ \log_{5}5 $;
(2)$ \log_{5}7 $与$ 1 $;
(3)$ \log_{\frac{1}{3}}5 $与$ 0 $;
(4)$ \log_{0.9}\frac{7}{8},\log_{0.7}\frac{6}{7} $与$\left( \frac{9}{10} \right)^{0}$.

答案：
(1)$ \log_{3}8＞\log_{5}5 $；
(2)$ \log_{5}7＞1 $；
(3)$ \log_{\frac{1}{3}}5＜0 $；
(4)$ \log_{0.7}\frac{6}{7}＜\log_{0.9}\frac{7}{8}＜\left( \frac{9}{10} \right)^{0} $
解析：
(1)$ \log_{5}5=1 $，$ \log_{3}8＞\log_{3}3=1 $，所以$ \log_{3}8＞1 $。
(2)$ 1=\log_{5}5 $，$ \log_{5}7＞\log_{5}5=1 $。
(3)$ 0=\log_{\frac{1}{3}}1 $，$ \log_{\frac{1}{3}}5＜\log_{\frac{1}{3}}1=0 $。
(4)$ \left( \frac{9}{10} \right)^{0}=1 $，$ \log_{0.9}\frac{7}{8}＜\log_{0.9}0.9=1 $，$ \log_{0.7}\frac{6}{7}＜\log_{0.7}0.7=1 $，且$ \log_{0.9}\frac{7}{8}＞\log_{0.9}1=0 $，$ \log_{0.7}\frac{6}{7}＜\log_{0.7}1=0 $，所以$ \log_{0.7}\frac{6}{7}＜\log_{0.9}\frac{7}{8}＜1 $。

2. 若$ \log_{a}\sqrt{2}＜1(a＞0,a\neq1) $,求实数$ a $的取值范围.

答案： $(0,1)\cup(\sqrt{2},+\infty)$
解析：当$ a＞1 $时，$ \log_{a}\sqrt{2}＜1=\log_{a}a $，得$ a＞\sqrt{2} $；当$ 0＜a＜1 $时，$ \log_{a}\sqrt{2}＜1=\log_{a}a $，得$ a＜\sqrt{2} $，此时$ 0＜a＜1 $，综上$ a $的取值范围是$(0,1)\cup(\sqrt{2},+\infty)$。