《2025年学习指导用书中职数学》

例 画出下列函数的图象,说出函数图象的几何特征,并说明函数的单调性和单调区间.
(1)$y=-x + 1$;
(2)$y=\frac{1}{x}$;
(3)$y=x^2 - 2x$.

答案：
(1)图象是一条直线，在$R$上呈下降趋势，是减函数，单调递减区间为$(-\infty,+\infty)$
(2)图象是双曲线，在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上均呈下降趋势，在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上都是减函数，单调递减区间为$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$
(3)图象是开口向上的抛物线，对称轴为$x = 1$，在$(-\infty,1)$上呈下降趋势，在$(1,+\infty)$上呈上升趋势，在$(-\infty,1)$上是减函数，在$(1,+\infty)$上是增函数，单调递减区间为$(-\infty,1)$，单调递增区间为$(1,+\infty)$
解析：
(1)函数$y=-x + 1$是一次函数，斜率为$-1＜0$，所以图象是下降的直线，在$R$上是减函数。
(2)函数$y=\frac{1}{x}$是反比例函数，在两个象限内分别单调递减。
(3)函数$y=x^2 - 2x=(x - 1)^2-1$，是二次函数，对称轴为$x = 1$，开口向上，所以在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。