《2025年学习指导用书中职数学》

例题导练
例1 用不等号把下列各组中两数连接起来.
(1) ($\frac{6}{7}$)²与($\frac{5}{6}$)²；
(2) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$与$\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

答案：
(1) ($\frac{6}{7}$)²＞($\frac{5}{6}$)²；
(2) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$＜$\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
解析：
(1) ($\frac{6}{7}$)² - ($\frac{5}{6}$)² = ($\frac{6}{7}$ + $\frac{5}{6}$)($\frac{6}{7}$ - $\frac{5}{6}$) = ($\frac{36 + 35}{42}$)($\frac{36 - 35}{42}$) = $\frac{71}{42}$×$\frac{1}{42}$＞0，所以($\frac{6}{7}$)²＞($\frac{5}{6}$)²；
(2) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ = $\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$，$\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ = $\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$ = $\sqrt{6}$ + $\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$ + $\sqrt{2}$ - ($\sqrt{6}$ + $\sqrt{2}$) = $\sqrt{3}$ - $\sqrt{6}$＜0，所以$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$＜$\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$。

例2 已知a＞b且ab≠0，比较$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$的大小.

答案： 当ab＞0时，$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$；当ab＜0时，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$
解析：$\frac{1}{a}$ - $\frac{1}{b}$ = $\frac{b - a}{ab}$，因为a＞b，所以b - a＜0，当ab＞0时，$\frac{b - a}{ab}$＜0，$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$；当ab＜0时，$\frac{b - a}{ab}$＞0，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$。

例3 已知a与b是实数，试比较a² + b²与2ab的大小.

答案： a² + b²≥2ab
解析：a² + b² - 2ab = (a - b)²≥0，所以a² + b²≥2ab，当且仅当a = b时等号成立。