《2025年学习指导用书中职数学》

2. 某产品原来的产值为1万吨,计划从今年开始,年产量平均增长10%,问经过几年,年产量可以达到2.36万吨?（结果保留整数）

答案： 设经过$ x $年,年产量达到2.36万吨,则$ 1 × (1 + 10\%)^x = 2.36 $, 即$ 1.1^x = 2.36 $.
两边取常用对数,得$ x = \frac{\lg 2.36}{\lg 1.1} \approx \frac{0.3729}{0.0414} \approx 9 $.
答:经过9年,年产量可以达到2.36万吨.

3. 2022年末某地区人口总数是1300万,如果该地区人口的自然增长率控制在5‰,那么哪一年末该地区人口总数超过1500万?

答案： 设经过$ x $年,人口总数超过1500万,则$ 1300(1 + 0.005)^x ＞ 1500 $, 即$ 1.005^x ＞ \frac{15}{13} $.
两边取常用对数,得$ x ＞ \frac{\lg \frac{15}{13}}{\lg 1.005} = \frac{\lg 15 - \lg 13}{\lg 1.005} \approx \frac{1.1761 - 1.1139}{0.00217} \approx 28.6 $.
$ 2022 + 29 = 2051 $, 答:2051年末该地区人口总数超过1500万.

1. 仓库库存的某种商品价值100万元,如果每年的损耗率为4.5%(即每年比上一年减少库存品价值的4.5%),那么经过几年,它的价值为40万元?

答案： 设经过$ x $年,价值为40万元,则$ 100(1 - 0.045)^x = 40 $, 即$ 0.955^x = 0.4 $.
两边取常用对数,得$ x = \frac{\lg 0.4}{\lg 0.955} \approx \frac{-0.3979}{-0.0199} \approx 20 $.
答:经过20年,它的价值为40万元.

2. 对于5年可成材的树木,在此期间的年生长率为18%,以后的年生长率为10%.树木成材后,既可以出售树木,重栽新树苗,也可以让其继续生长5年.按10年的情形考虑,哪一种方案可获得较大的木材量?

答案： 设树苗初始量为$ a $.
方案一:前5年生长,价值为$ a(1 + 0.18)^5 $, 重栽后5年,总木材量为$ a(1.18)^5(1.18)^5 = a(1.18)^{10} \approx a × 5.2338 $.
方案二:连续生长10年,木材量为$ a(1.18)^5(1.10)^5 \approx a × 2.2878 × 1.6105 \approx a × 3.685 $.
因为$ 5.2338a ＞ 3.685a $, 所以方案一获得较大木材量.