《2025年学习指导用书中职数学》

例1 （2）由于命题“如果$ x = 3 $，那么$ x^2 = 9 $”是真命题，因此“$ x = 3 $”是“$ x^2 = 9 $”的______，“$ x^2 = 9 $”是“$ x = 3 $”的______。

答案： （2）充分条件，必要条件
因为“如果$ x = 3 $，那么$ x^2 = 9 $”是真命题，即$ x = 3 \Rightarrow x^2 = 9 $，所以“$ x = 3 $”是“$ x^2 = 9 $”的充分条件，“$ x^2 = 9 $”是“$ x = 3 $”的必要条件。

例2 根据下列各组条件，判断命题“如果$ p $，那么$ q $”是否是真命题。若是真命题，请指出$ p $是$ q $的什么条件，$ q $是$ p $的什么条件。
（1）$ p: x - 2 = 0 $；$ q: (x - 2)(x - 3) = 0 $。
（2）$ p: a = b $；$ q: ac = bc $。

答案： （1）是真命题，$ p $是$ q $的充分条件，$ q $是$ p $的必要条件
若$ x - 2 = 0 $，则$ x = 2 $，代入$ (x - 2)(x - 3) = 0 $成立，即$ p \Rightarrow q $，所以是真命题，$ p $是$ q $的充分条件，$ q $是$ p $的必要条件。
（2）是真命题，$ p $是$ q $的充分条件，$ q $是$ p $的必要条件
若$ a = b $，则两边乘$ c $得$ ac = bc $，即$ p \Rightarrow q $，所以是真命题，$ p $是$ q $的充分条件，$ q $是$ p $的必要条件。

A组 1. 判断下列命题的真假，在括号内填“真命题”或“假命题”。
（1）“$ a ＞ b $”是“$ a^2 ＞ b^2 $”的充分条件；（ ）
（2）“$ a ＞ b $”是“$ a^2 ＞ b^2 $”的必要条件；（ ）
（3）“$ a ＞ b $”是“$ |a| ＞ |b| $”的充分条件；（ ）
（4）“$ a^2 ＞ b^2 $”是“$ |a| ＞ |b| $”的必要条件。（ ）

答案： （1）假命题
反例：$ a = 1 $，$ b = -2 $，$ a ＞ b $但$ a^2 = 1 ＜ b^2 = 4 $。
（2）假命题
反例：$ a^2 = 4 $，$ b^2 = 1 $，$ a^2 ＞ b^2 $但$ a = -2 $，$ b = 1 $时$ a ＜ b $。
（3）假命题
反例：$ a = 1 $，$ b = -2 $，$ a ＞ b $但$ |a| = 1 ＜ |b| = 2 $。
（4）假命题
$ |a| ＞ |b| \Rightarrow a^2 ＞ b^2 $，所以“$ a^2 ＞ b^2 $”是“$ |a| ＞ |b| $”的充分必要条件，不是必要条件（应为充分条件）。

A组 2. 用“充分不必要条件”或“必要不充分条件”填空：
（1）“两三角形全等”是“两三角形相似”的______；
（2）“$ a ＞ 0 $”是“$ a ＞ 3 $”的______；
（3）“$ a \neq 0 $”是“$ ab \neq 0 $”的______。

答案： （1）充分不必要条件
全等三角形一定相似，相似三角形不一定全等，所以是充分不必要条件。
（2）必要不充分条件
$ a ＞ 3 \Rightarrow a ＞ 0 $，但$ a ＞ 0 \nRightarrow a ＞ 3 $，所以是必要不充分条件。
（3）必要不充分条件
$ ab \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 $且$ b \neq 0 $，所以$ a \neq 0 $是$ ab \neq 0 $的必要不充分条件。

A组 3. 根据下列各组条件，判断命题“如果$ p $，那么$ q $”是否是真命题。若是真命题，请指出$ p $是$ q $的什么条件，$ q $是$ p $的什么条件。
（1）$ p: x - 1 = 0 $；$ q: x^2 = 1 $。
（2）$ p: x = 2 $，$ y = 5 $；$ q: x + y = 7 $。
（3）$ p: a $是2的倍数；$ q: a $是4的倍数。

答案： （1）是真命题，$ p $是$ q $的充分条件，$ q $是$ p $的必要条件
$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow x^2 = 1 $，即$ p \Rightarrow q $，所以是真命题，$ p $是$ q $的充分条件，$ q $是$ p $的必要条件。
（2）是真命题，$ p $是$ q $的充分条件，$ q $是$ p $的必要条件
$ x = 2 $，$ y = 5 \Rightarrow x + y = 7 $，即$ p \Rightarrow q $，所以是真命题，$ p $是$ q $的充分条件，$ q $是$ p $的必要条件。
（3）不是真命题
$ a = 6 $是2的倍数但不是4的倍数，所以$ p \nRightarrow q $，命题为假。

B组 1. 若$ a \in \mathbf{R} $，则“$ a = 2 $”是“$ (a - 1)(a - 2) = 0 $”的（ ）。
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件

答案： A
$ a = 2 \Rightarrow (a - 1)(a - 2) = 0 $，但$ (a - 1)(a - 2) = 0 \Rightarrow a = 1 $或$ a = 2 $，所以“$ a = 2 $”是充分不必要条件，选A。