《2025年学习指导用书中职数学》

10. 若$ a ＞ 1 $,则函数$ y = \log_{a}(x + 3) $的图象不经过( ).
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： D
解析：$ a ＞ 1 $时，$ y = \log_{a}(x + 3) $图象由$ y = \log_{a}x $左移3个单位，过$(-2,0)$，$(-2,0)$右侧递增，不经过第四象限，选D。

11. 比较下列各组中两个数的大小.
(1) $ 2.5^{0.1} $______$ 2.5^{-2} $;
(2) $ (\frac{5}{7})^{-2.1} $______$ (\frac{5}{7})^{-3} $;
(3) $ \log_{\frac{1}{3}}3 $______$ \log_{\frac{1}{3}}3.1 $.

答案：
(1) ＞
解析：指数函数$ y = 2.5^x $单调递增，$ 0.1 ＞ -2 $，所以$ 2.5^{0.1} ＞ 2.5^{-2} $。
(2) ＞
解析：指数函数$ y = (\frac{5}{7})^x $单调递减，$ -2.1 ＞ -3 $，所以$ (\frac{5}{7})^{-2.1} ＞ (\frac{5}{7})^{-3} $。
(3) ＞
解析：对数函数$ y = \log_{\frac{1}{3}}x $单调递减，$ 3 ＜ 3.1 $，所以$ \log_{\frac{1}{3}}3 ＞ \log_{\frac{1}{3}}3.1 $。

12. 指数函数$ y = f(x) $的图象经过点$(2,9)$,则$ f(3) = $______.

答案： 27
解析：设$ f(x) = a^x $，则$ a^2 = 9 $，$ a = 3 $（$ a ＞ 0 $），$ f(3) = 3^3 = 27 $。

13. $ 2\lg 2 + \lg 25 = $______;$ \frac{\log_{5}8}{\log_{5}2} = $______.

答案： 2；3
解析：$ 2\lg 2 + \lg 25 = \lg 4 + \lg 25 = \lg 100 = 2 $；$ \frac{\log_{5}8}{\log_{5}2} = \log_{2}8 = 3 $。

14. 已知$ \log_{13}6 = a $,$ 13^{b} = 7 $,试用$ a,b $表示$ \log_{13}42 $为______.

答案： $ a + b $
解析：$ \log_{13}42 = \log_{13}(6 × 7) = \log_{13}6 + \log_{13}7 = a + b $。

15. 已知函数$ f(x) = \log_{3}(x + 5) $,若$ f(a) = 2 $,则$ a = $______.

答案： 4
解析：$ \log_{3}(a + 5) = 2 $，$ a + 5 = 3^2 = 9 $，$ a = 4 $。

16. (本小题满分12分)计算：
(1) $ (m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{8}})^{8} $;
(2) $ 3\log_{2}64 - 5\log_{2}\frac{1}{4} $;
(3) $ 27^{\frac{2}{3}} - \log_{2}8 $;
(4) $ \log_{3}36 - \log_{3}4 $.

答案：
(1) $ (m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{8}})^8 = m^{2}n^{1} = m^{2}n $;
(2) $ 3\log_{2}2^6 - 5\log_{2}2^{-2} = 3 × 6 - 5 × (-2) = 18 + 10 = 28 $;
(3) $ (3^3)^{\frac{2}{3}} - \log_{2}2^3 = 9 - 3 = 6 $;
(4) $ \log_{3}\frac{36}{4} = \log_{3}9 = 2 $.