《2025年学习指导用书中职数学》

18. 解下列不等式：
(1)$x^2 - 2x - 15 \geq 0$；
(2)$-x^2 - x + 6 ＞ 0$；
(3)$|2x - 3| \geq 1$；
(4)$|3 - 4x| ＜ 5$.

答案：
(1)$(-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$
解析：解$x^2 - 2x - 15 = 0$，判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(-15) = 4 + 60 = 64$，根为$x = \frac{2\pm8}{2}$，即$x_1 = 5$，$x_2 = -3$。二次函数开口向上，所以不等式$x^2 - 2x - 15 \geq 0$的解集为$x \leq -3$或$x \geq 5$，即$(-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$。
(2)$(-3, 2)$
解析：不等式两边同乘$-1$得$x^2 + x - 6 ＜ 0$，解$x^2 + x - 6 = 0$，根为$x = \frac{-1\pm5}{2}$，即$x_1 = 2$，$x_2 = -3$。二次函数开口向上，所以$x^2 + x - 6 ＜ 0$的解集为$-3 ＜ x ＜ 2$，即原不等式解集为$(-3, 2)$。
(3)$(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$
解析：$|2x - 3| \geq 1$等价于$2x - 3 \geq 1$或$2x - 3 \leq -1$，解得$2x \geq 4$即$x \geq 2$，或$2x \leq 2$即$x \leq 1$，所以解集为$(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$。
(4)$(-\frac{1}{2}, 2)$
解析：$|3 - 4x| ＜ 5$等价于$-5 ＜ 3 - 4x ＜ 5$，先减3得$-8 ＜ -4x ＜ 2$，两边同除以$-4$（不等号变向）得$2 ＞ x ＞ -\frac{1}{2}$，即$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ 2$，解集为$(-\frac{1}{2}, 2)$。

19. 设全集$U = \mathbf{R}$，集合$A = \{x|x^2 - x - 2 ＞ 0\}$，$B = \{x|x^2 - 3x - 10 ＜ 0\}$，求$\complement_U A$，$\complement_U B$，$A \cap B$，$\complement_U A \cup B$.

答案： $\complement_U A = [-1, 2]$，$\complement_U B = (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$，$A \cap B = (-2, -1) \cup (2, 5)$，$\complement_U A \cup B = (-2, 5)$
解析：解$x^2 - x - 2 ＞ 0$，得$(x - 2)(x + 1) ＞ 0$，所以$A = (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$，则$\complement_U A = [-1, 2]$；解$x^2 - 3x - 10 ＜ 0$，得$(x - 5)(x + 2) ＜ 0$，所以$B = (-2, 5)$，则$\complement_U B = (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$；$A \cap B = [(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)] \cap (-2, 5) = (-2, -1) \cup (2, 5)$；$\complement_U A \cup B = [-1, 2] \cup (-2, 5) = (-2, 5)$。

20. $m$为什么实数时，方程$x^2 - (m + 1)x - 2m + 3 = 0$分别满足以下各条件？
(1)有两个不相等的实数根；
(2)没有实数根.

答案：
(1)$m ＜ -11$或$m ＞ 1$
解析：判别式$\Delta = (m + 1)^2 - 4×1×(-2m + 3) = m^2 + 2m + 1 + 8m - 12 = m^2 + 10m - 11$。有两个不相等实数根需$\Delta ＞ 0$，即$m^2 + 10m - 11 ＞ 0$，解$m^2 + 10m - 11 = 0$，根为$m = \frac{-10\pm\sqrt{100 + 44}}{2} = \frac{-10\pm12}{2}$，即$m_1 = 1$，$m_2 = -11$，所以$\Delta ＞ 0$时$m ＜ -11$或$m ＞ 1$。
(2)$-11 ＜ m ＜ 1$
解析：没有实数根需$\Delta ＜ 0$，由
(1)知$m^2 + 10m - 11 ＜ 0$，解集为$-11 ＜ m ＜ 1$。