《2025年学习指导用书中职数学》

例3 用区间表示下列不等式组的解集.
（1）$\begin{cases} x - 1 \geq 0, \\ 2x - 3 \leq 0 \end{cases}$；（2）$\begin{cases} x + \dfrac{1}{2} ＜ 0, \\ 2x - 3 ＜ 0 \end{cases}$

答案： （1）$\left[1,\dfrac{3}{2}\right]$；（2）$\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)$
解析：（1）解$x - 1 \geq 0$得$x \geq 1$，解$2x - 3 \leq 0$得$x \leq \dfrac{3}{2}$，交集为$1 \leq x \leq \dfrac{3}{2}$。
（2）解$x + \dfrac{1}{2} ＜ 0$得$x ＜ -\dfrac{1}{2}$，解$2x - 3 ＜ 0$得$x ＜ \dfrac{3}{2}$，交集为$x ＜ -\dfrac{1}{2}$。

1. 用区间填空：
（1）$\{x|x ＜ \dfrac{2}{3}\}=$______；
（2）$\{x|-3 \leq x ＜ 4\}=$______；
（3）$\{x|x ＞ -3\}=$______；
（4）$\{x|1 ＜ x ＜ \dfrac{3}{2}\}=$______；
（5）不等式组$\begin{cases} 2x + 3 ＜ 6 \\ 3x + 6 \geq x - 2 \end{cases}$的解集为______.

答案： （1）$\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right)$；（2）$[-3,4)$；（3）$(-3,+\infty)$；（4）$\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$；（5）$[-4,\dfrac{3}{2})$
解析：（1）小于对应$(-\infty,a)$。（2）左闭右开区间$[-3,4)$。（3）大于对应$(a,+\infty)$。（4）开区间$(1,\dfrac{3}{2})$。（5）解$2x + 3 ＜ 6$得$x ＜ \dfrac{3}{2}$，解$3x + 6 \geq x - 2$得$x \geq -4$，交集为$-4 \leq x ＜ \dfrac{3}{2}$。

2. 已知$A=\{x|-2 \leq x \leq 4\}$，$B=[-3,3]$，求$\complement_{\mathbf{R}}A$，$\complement_{\mathbf{R}}B$，$A\cap \complement_{\mathbf{R}}B$.

答案： $\complement_{\mathbf{R}}A=(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)$，$\complement_{\mathbf{R}}B=(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$，$A\cap \complement_{\mathbf{R}}B=(3,4]$
解析：$\complement_{\mathbf{R}}A$为$A$在$\mathbf{R}$中的补集，即$x ＜ -2$或$x ＞ 4$；$\complement_{\mathbf{R}}B$为$B$的补集，即$x ＜ -3$或$x ＞ 3$；$A\cap \complement_{\mathbf{R}}B$为$A$与$\complement_{\mathbf{R}}B$的交集，即$3 ＜ x \leq 4$。