《2025年学习指导用书中职数学》

A组 1. 某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是$y=3000+20x-0.1x^2(0＜x＜240,x∈N_+)$，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是多少台？

答案： 100台
解析：由25x≥3000+20x-0.1x²，化简得$0.1x² + 5x - 3000 ≥ 0$，即$x² + 50x - 30000 ≥ 0$，解得x≥100(x≤-300舍去)，故最低产量100台。

A组 2. 已知关于x的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 3=0$.
(1) 当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2) 设$x_1,x_2$是方程的两根，且$(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 - 12=0$，求m的值.

答案：
(1) m＞ -2；
(2) m=2
解析：
(1) 判别式$\Delta=4(m+1)^2 - 4(m² - 3)=8m + 16＞0$，解得m＞ -2。
(2) 由韦达定理得$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m² - 3$，代入$(2(m+1))² - 4(m² - 3) - 12=0$，化简得8m + 4=0，解得m=2。

B组 1. 下列说法中不正确的是( ).
A. 若不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集为$(x_1,x_2)$，则必有a＞0
B. 若不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集是$(-∞,x_1)∪(x_2,+∞)$，则方程$ax^2+bx+c=0$的两个根是$x_1$和$x_2$
C. 若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$没有实数根，则不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为R
D. 不等式$ax^2+bx+c≤0$在R上恒成立的条件是a＜0且$\Delta=b^2 - 4ac≤0$

答案： C
解析：C项中，若a＜0且方程无实根，则不等式解集为空集，故C错误。

B组 2. 已知c∈R.
(1) 解关于x的不等式$x^2-(c+1)x + c＜0$；
(2) 当c=-2时，不等式$x^2-(c+1)x + c＞ax - 5$在(0,2)上恒成立，求实数a的取值范围.

答案：
(1) 当c＜1时，解集为(c,1)；当c=1时，解集为空集；当c＞1时，解集为(1,c)；
(2) a≤1
解析：
(1) 不等式化为(x-1)(x-c)＜0，分类讨论得解。
(2) c=-2时，不等式为$x² + x - 2 ＞ ax - 5$，即$a ＜ x + \frac{3}{x} + 1$在(0,2)恒成立，由均值定理得$x + \frac{3}{x} ≥ 2\sqrt{3}$，当x=$\sqrt{3}$时取等，故a≤1。