《2025年学习指导用书中职数学》

例1 已知扇形OAB的圆心角$\alpha$为$120^{\circ}$，半径$r=6$，求弧长$l$及扇形面积$S$.

答案： $l = 4\pi$，$S=12\pi$
解析：$\alpha=120^{\circ}=\frac{2\pi}{3}$，$l=\alpha r=\frac{2\pi}{3}×6 = 4\pi$，$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}×4\pi×6=12\pi$.

例2 如图5-1所示，扇形OAB的面积是$\frac{3\pi}{2}cm^2$，它的周长是$6+\picm$，求扇形的圆心角及弦AB的长.

答案： 圆心角$\frac{\pi}{3}$，弦AB长2cm
解析：设弧长$l$，半径$r$，则$\begin{cases}l + 2r=6+\pi\frac{1}{2}lr=\frac{3\pi}{2}\end{cases}$，解得$l=\pi$，$r = 3$，圆心角$\alpha=\frac{l}{r}=\frac{\pi}{3}$，弦$AB=2r\sin\frac{\alpha}{2}=2×3×\sin\frac{\pi}{6}=3$（修正弦长计算：$2×3×\sin\frac{\pi}{6}=3$，答案弦长为3cm，原答案2cm错误）.

例3 已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，该扇形面积最大，最大面积是多少？

答案： 圆心角2rad，最大面积$25cm^2$
解析：设半径$r$，弧长$l=20 - 2r$，$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}(20 - 2r)r=-r^2 + 10r=-(r - 5)^2 + 25$，$r = 5$时，$S_{max}=25$，此时$\alpha=\frac{l}{r}=\frac{10}{5}=2$.