《2025年学习指导用书中职数学》

例1 判断下列各式是否正确.
(1) $ \log_{a}(x+y)=\log_{a}x+\log_{a}y $;
(2) $ \log_{a}MN=\log_{a}M\cdot\log_{a}N $;
(3) $ \log_{a}(x-y)=\frac{\log_{a}x}{\log_{a}y} $;
(4) $ \log_{5}x^{3}=3\log_{5}x(x＞0) $;
(5) $ \log_{2}[(-4)(-8)]=\log_{2}(-4)+\log_{2}(-8) $.

答案：
(1)不正确；
(2)不正确；
(3)不正确；
(4)正确；
(5)不正确.

例2 计算$ \log_{4}64+\log_{4}3+\log_{4}\frac{16}{3} $.

答案： 5
原式$ =\log_{4}64+\log_{4}3+\log_{4}\frac{16}{3} $
$ =\log_{4}\left(64×3×\frac{16}{3}\right) $
$ =\log_{4}1024 $
$ =\log_{4}4^{5} $
$ =5\log_{4}4 $
$ =5 $.

例3 用$ \log_{a}x,\log_{a}y,\log_{a}z $表示下列各式：
(1) $ \log_{a}(x^{3}yz^{4}) $;
(2) $ \log_{a}\frac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{2}}z^{\frac{1}{4}}} $.

答案：
(1) $ 3\log_{a}x+\log_{a}y+4\log_{a}z $
原式$ =\log_{a}x^{3}+\log_{a}y+\log_{a}z^{4} $
$ =3\log_{a}x+\log_{a}y+4\log_{a}z $.
(2) $ \frac{1}{3}\log_{a}x-\frac{1}{2}\log_{a}y-\frac{1}{4}\log_{a}z $
原式$ =\log_{a}x^{\frac{1}{3}}-\log_{a}(y^{\frac{1}{2}}z^{\frac{1}{4}}) $
$ =\log_{a}x^{\frac{1}{3}}-\left(\log_{a}y^{\frac{1}{2}}+\log_{a}z^{\frac{1}{4}}\right) $
$ =\frac{1}{3}\log_{a}x-\frac{1}{2}\log_{a}y-\frac{1}{4}\log_{a}z $.

1. 填空：
(1) $ \log_{4}4^{10}= $______；
(2) $ \log_{4}64= $______；
(3) $ \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}= $______；
(4) $ \log_{\frac{1}{5}}125= $______；

答案：
(1)10
$ \log_{4}4^{10}=10\log_{4}4=10×1 = 10 $.
(2)3
$ \log_{4}64=\log_{4}4^{3}=3\log_{4}4=3×1 = 3 $.
(3)3
$ \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=\log_{2^{-1}}2^{-3}=\frac{-3}{-1}\log_{2}2 = 3×1 = 3 $.
(4)-3
$ \log_{\frac{1}{5}}125=\log_{5^{-1}}5^{3}=\frac{3}{-1}\log_{5}5=-3×1=-3 $.