《2025年学习指导用书中职数学》

例2 判断下列命题是否正确。正确的在括号内画“√”，错误的在括号内画“×”，并简述理由。
(1) 如果$a＞b$，那么$3 - 2a＞3 - 2b$。（ ）
(2) 如果$a＜b$，那么$a^{2}＜b^{2}$。（ ）
(3) 如果$ac^{2}＞bc^{2}$，那么$a＞b$。（ ）
(4) 如果$a＜b$，那么$a + c＜b + c$。（ ）

答案：
(1) ×
解析：因为$a＞b$，所以$-2a＜-2b$，两边同时加$3$得$3 - 2a＜3 - 2b$，所以命题错误。
(2) ×
解析：当$a=-3$，$b=1$时，$a＜b$，但$a^{2}=9$，$b^{2}=1$，$a^{2}＞b^{2}$，所以命题错误。
(3) √
解析：因为$ac^{2}＞bc^{2}$，所以$c^{2}＞0$（$c\neq0$），两边同时除以$c^{2}$得$a＞b$，所以命题正确。
(4) √
解析：根据不等式的加法法则，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，所以命题正确。

例3 已知$a＞b$，$c＞d$，求证：$a + c＞b + d$。

答案： 证明：因为$a＞b$，所以$a + c＞b + c$（不等式加法法则），又因为$c＞d$，所以$b + c＞b + d$（不等式加法法则），由不等式传递性可得$a + c＞b + d$。

例4 设$f(x)=ax^{2}+bx$，并且$1\leq f(-1)\leq2$，$2\leq f(1)\leq4$，求$f(-2)$的取值范围。

答案： $5\leq f(-2)\leq10$
解析：设$f(-2)=mf(-1)+nf(1)$，则$4a - 2b=m(a - b)+n(a + b)=(m + n)a+(n - m)b$，可得$\begin{cases}m + n=4\\n - m=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 3\\n = 1\end{cases}$，所以$f(-2)=3f(-1)+f(1)$，因为$1\leq f(-1)\leq2$，所以$3\leq3f(-1)\leq6$，又$2\leq f(1)\leq4$，所以$3 + 2\leq3f(-1)+f(1)\leq6 + 4$，即$5\leq f(-2)\leq10$。