《2025年学习指导用书中职数学》

例2 下列各组条件中，$ p $是$ q $的什么条件？
（1）$ p: x = \pm 2 $；$ q: x^2 = 4 $。
（2）$ p: \triangle ABC $中，$ \angle A = 90^\circ $；$ q: \triangle ABC $中，$ a^2 = b^2 + c^2 $。
（3）$ p: x ＜ 0 $且$ y ＞ 0 $；$ q: xy ＜ 0 $。
（4）$ p: “x ＜ -2” $；$ q: “x ＜ -3” $。

答案： （1）充要条件
$ x = \pm 2 \Rightarrow x^2 = 4 $，且$ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 $，所以$ p \Leftrightarrow q $，是充要条件。
（2）充要条件
直角三角形$ \angle A = 90^\circ \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 $（勾股定理），反之，$ a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow \angle A = 90^\circ $（勾股定理逆定理），所以是充要条件。
（3）充分不必要条件
$ x ＜ 0 $且$ y ＞ 0 \Rightarrow xy ＜ 0 $，但$ xy ＜ 0 $还可能$ x ＞ 0 $且$ y ＜ 0 $，所以$ p \Rightarrow q $但$ q \nRightarrow p $，是充分不必要条件。
（4）必要不充分条件
$ x ＜ -3 \Rightarrow x ＜ -2 $，但$ x ＜ -2 \nRightarrow x ＜ -3 $，所以$ p \Leftarrow q $但$ p \nRightarrow q $，是必要不充分条件。

A组 1. 用符号“$\Rightarrow$”“$\Leftarrow$”或“$\Leftrightarrow$”填空：
（1）$ x ＞ 2 $______$ x ＞ 0 $；
（2）$ x^2 = 9 $______$ x = -3 $；
（3）$ a = \pm b $______$ a^2 - b^2 = 0 $。

答案： （1）$\Rightarrow$
$ x ＞ 2 $的数一定满足$ x ＞ 0 $，所以$ x ＞ 2 \Rightarrow x ＞ 0 $。
（2）$\Leftarrow$
$ x = -3 \Rightarrow x^2 = 9 $，但$ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 $，所以$ x^2 = 9 \Leftarrow x = -3 $。
（3）$\Leftrightarrow$
$ a = \pm b \Rightarrow a^2 = b^2 \Rightarrow a^2 - b^2 = 0 $，反之$ a^2 - b^2 = 0 \Rightarrow a^2 = b^2 \Rightarrow a = \pm b $，所以是$\Leftrightarrow$。

A组 2. 下列各组条件中， p 是 q 的什么条件？
（1） p: x = 5 ；$ q: x^2 = 25 。$
（2） p: x ＜ -4 ； q: x ＜ -6 。
$（3） p: \triangle ABC $有两条边的长相等；$ q: \triangle ABC $是等腰三角形。
$（4） p: \Delta = b^2 - 4ac ＞ 0 ；$ q: 一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $有两个不相等的实根。

答案： （1）充分不必要条件
$ x = 5 \Rightarrow x^2 = 25 $，但$ x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5 $，所以$ p $是$ q $的充分不必要条件。
（2）必要不充分条件
$ x ＜ -6 \Rightarrow x ＜ -4 $，但$ x ＜ -4 \nRightarrow x ＜ -6 $，所以$ p $是$ q $的必要不充分条件。
（3）充要条件
有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形一定有两条边相等，所以是充要条件。
（4）充要条件
一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $，$ \Delta ＞ 0 \Leftrightarrow $有两个不相等实根，所以是充要条件。