《2025年学习指导用书中职数学》

例2 已知全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ A = \{x|x \geq 2\} $，求$ \complement_U A $。

答案： $\{x|x ＜ 2\}$
因为全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ A = \{x|x \geq 2\} $，由补集定义$ \complement_U A = \{x|x \in U 且 x \notin A\} $，所以$ \complement_U A = \{x|x ＜ 2\} $。

A组 1. 填空：
（1）全集$ U = \{a,b,c,d\} $，集合$ A = \{b,d\} $，则$ \complement_U A = $______；
（2）全集$ U = \mathbf{Z} $，集合$ B = \{x|x = 2k + 1, k \in \mathbf{Z}\} $，则$ \complement_U B = $______；
（3）全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ C = \{x|x \leq -1\} $，则$ \complement_U C = $______；
（4）全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ D = \{x|-1 ＜ x \leq 2\} $，则$ \complement_U D = $______。

答案： （1）$\{a,c\}$
因为全集$ U = \{a,b,c,d\} $，集合$ A = \{b,d\} $，补集$ \complement_U A $是$ U $中不属于$ A $的元素，即$ \{a,c\} $。
（2）$\{x|x = 2k, k \in \mathbf{Z}\}$
全集$ U = \mathbf{Z} $，集合$ B $是奇数集，所以其补集为偶数集，即$ \{x|x = 2k, k \in \mathbf{Z}\} $。
（3）$\{x|x ＞ -1\}$
全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ C = \{x|x \leq -1\} $，补集为$ \mathbf{R} $中大于$ -1 $的元素，即$ \{x|x ＞ -1\} $。
（4）$\{x|x \leq -1 或 x ＞ 2\}$
全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ D = \{x|-1 ＜ x \leq 2\} $，补集是$ x \leq -1 $或$ x ＞ 2 $的元素，即$ \{x|x \leq -1 或 x ＞ 2\} $。

A组 2. 已知全集$ U = \mathbf{R} $，集合$ A = \{x|x ＜ 4\} $，集合$ B = \{x|x ＞ -2\} $，求$ A \cup B $，$ A \cap B $，$ \complement_U A $，$ \complement_U B $。

答案： $ A \cup B = \mathbf{R} $，$ A \cap B = \{x|-2 ＜ x ＜ 4\} $，$ \complement_U A = \{x|x \geq 4\} $，$ \complement_U B = \{x|x \leq -2\} $
$ A = \{x|x ＜ 4\} $，$ B = \{x|x ＞ -2\} $，$ A \cup B $是所有小于4或大于-2的实数，即全体实数$ \mathbf{R} $；$ A \cap B $是既小于4又大于-2的实数，即$ \{x|-2 ＜ x ＜ 4\} $；$ \complement_U A $是$ U $中不属于$ A $的元素，即$ \{x|x \geq 4\} $；$ \complement_U B $是$ U $中不属于$ B $的元素，即$ \{x|x \leq -2\} $。

B组 1. 若全集$ U = \{1,2,3,4\} $，集合$ M = \{1,2\} $，$ N = \{2,3\} $，则$ \complement_U(M \cup N) = $（ ）。
A. $\{1,2,3\}$ B. $\{2\}$ C. $\{1,3,4\}$ D. $\{4\}$

答案： D
$ M \cup N = \{1,2,3\} $，全集$ U = \{1,2,3,4\} $，所以$ \complement_U(M \cup N) = \{4\} $，选D。

B组 2. 30名学生同时做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确的有20人，化学实验做得正确的有21人，两种实验都做错的有5人，则这两种实验都做对的有______人。

答案： 16
设两种实验都做对的有$ x $人，仅物理正确的有$ 20 - x $人，仅化学正确的有$ 21 - x $人，由总人数可得$ (20 - x) + (21 - x) + x + 5 = 30 $，解得$ x = 16 $。