《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】如图1,CD为⊙O的直径,AB为⊙O的弦,CD⊥AB于E,AC= 10,AB= 12,求⊙O的半径长.
解:连接 $ OA $，设 $ \odot O $ 半径为 $ r $，$ CE = \sqrt { 1 0 ^ { 2 } - 6 ^ { 2 } } = 8 $，在 $ \mathrm { Rt } \triangle A O E $ 中，$ r ^ { 2 } = 6 ^ { 2 } + ( 8 - r ) ^ { 2 } $，解得$r=$$\frac{25}{4}$。

答案： 解:连接 $ OA $，设 $ \odot O $ 半径为 $ r $，$ CE = \sqrt { 1 0 ^ { 2 } - 6 ^ { 2 } } = 8 $，在 $ \mathrm { Rt } \triangle A O E $ 中，$ r ^ { 2 } = 6 ^ { 2 } + ( 8 - r ) ^ { 2 } $，$ r = \frac { 2 5 } { 4 } $。

变式1.如图2,在⊙O中,半径OD与弦AB互相垂直于点C,若AB= 8,CD= 3,求⊙O的半径长.
解:连接 OA，设⊙O 的半径为 r，则 OC = r - 3，又 AC = 4，在 Rt△AOC 中，r² = 4² + (r - 3)²，解得 r = 25/6。

答案： 解:连接 $ OA $，设 $ \odot O $ 的半径为 $ r $，则 $ O C = r - 3 $，又 $ A C = 4 $，在 $ \mathrm { Rt } \triangle A O C $ 中，$ r ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } + ( r - 3 ) ^ { 2 } $，$ r = \frac { 2 5 } { 6 } $。

变式2.如图3,在⊙O中,直径AD⊥弦BC于E,连AB,OM⊥AB于M点,BC= 8,OM= $\frac{5}{2}$,求⊙O的半径.

解:连接 $ B D $，$ O B $，$ \because O M = \frac { 1 } { 2 } B D $，$ \therefore B D = $5，$ \therefore D E = $3，在 $ \mathrm { Rt } \triangle O B E $ 中，$ R ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } + ( R - 3 ) ^ { 2 } $，$ R = $$\frac{25}{6}$。

答案： 解:连接 $ B D $，$ O B $，$ \because O M = \frac { 1 } { 2 } B D $，$ \therefore B D = 5 $，$ \therefore D E = 3 $，在 $ \mathrm { Rt } \triangle O B E $ 中，$ R ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } + ( R - 3 ) ^ { 2 } $，$ R = \frac { 2 5 } { 6 } $。

【典例2】(教材P83T1改编)如图4,⊙O的半径为5,半径OD⊥弦AB于C,AD= 2$\sqrt{5}$,求AB的长.
解:连接 $ O A $，设 $ C D = x $，则 $ O C = 5 - x $，$ \because O A ^ { 2 } - O C ^ { 2 } = A C ^ { 2 } = A D ^ { 2 } - C D ^ { 2 } $，$ \therefore 5 ^ { 2 } - ( 5 - x ) ^ { 2 } = ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } $，$ \therefore x = $2，$ \therefore O C = $3，$ A C = $4，$ \therefore A B = 2 A C = $8。

答案： 解:连接 $ O A $，设 $ C D = x $，则 $ O C = 5 - x $，$ \because O A ^ { 2 } - O C ^ { 2 } = A C ^ { 2 } = A D ^ { 2 } - C D ^ { 2 } $，$ \therefore 5 ^ { 2 } - ( 5 - x ) ^ { 2 } = ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } $，$ \therefore x = 2 $，$ \therefore O C = 3 $，$ A C = 4 $，$ \therefore A B = 2 A C = 8 $。

变式1.如图5,在⊙O中,弦AB,CD相交于点E,AB⊥CD,AE= 2,BE= 6,CE= 4,求⊙O的直径.√65

答案： 解:连接 $ O C $，$ O B $，过 $ O $ 作 $ O F \perp A B $ 于 $ F $，$ O G \perp C D $ 于 $ G $，则 $ B F = 4 $，$ E F = 2 = O G $，设 $ O F = E G = x $，则 $ G C = 4 - x $，$ \because C G ^ { 2 } + O G ^ { 2 } = O C ^ { 2 } = O B ^ { 2 } = O F ^ { 2 } + B F ^ { 2 } $，$ \therefore ( 4 - x ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = 4 ^ { 2 } + x ^ { 2 } $，$ \therefore x = \frac { 1 } { 2 } $，$ \therefore \odot O $ 的直径为 $ \sqrt { 6 5 } $。

变式2.(教材P90T10改编)如图6,AB,CD为⊙O的两条弦,AB//CD,AB= 24,CD= 10,AB与CD之间的距离为7,求⊙O的半径.

解:设 $ \odot O $ 半径为 $ r $，过 $ O $ 作 $ O M \perp C D $ 于 $ M $，交 $ A B $ 于 $ N $，连接 $ O C $，$ O A $，设 $ O N = x $，则 $ 5 ^ { 2 } + ( 7 + x ) ^ { 2 } = 1 2 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = r ^ { 2 } $，解得$ x = $5，故 $ r = $13。

答案： 解:设 $ \odot O $ 半径为 $ r $，过 $ O $ 作 $ O M \perp C D $ 于 $ M $，交 $ A B $ 于 $ N $，连接 $ O C $，$ O A $，设 $ O N = x $，则 $ 5 ^ { 2 } + ( 7 + x ) ^ { 2 } = 1 2 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = r ^ { 2 } $，$ x = 5 $，故 $ r = 1 3 $。