《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c与x轴交于A$,$B$两点,顶点为$C$．
(1)若$\triangle ABC$为直角三角形,求$b^{2}-4ac$的值；4
(2)若$\triangle ABC$为等边三角形,求$b^{2}-4ac$的值；12
(3)若$\angle ACB = 120^{\circ}$时,求$b^{2}-4ac$的值．$\frac{4}{3}$

答案： 解：
(1)过点C作$CD⊥AB$于D，设$A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$，
$\therefore AB=|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}$，
学参考答案- 14
$\therefore CD=|\frac{4ac - b^{2}}{4a}|=\frac{b^{2}-4ac}{4|a|}$，
$\because AB = 2CD$，
$\therefore \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}=2\times\frac{b^{2}-4ac}{4|a|}$，
$\therefore b^{2}-4ac=\frac{(b^{2}-4ac)^{2}}{4}$，
$\because b^{2}-4ac\neq0$，$\therefore b^{2}-4ac = 4$；
(2)过点C作$CD⊥AB$，垂足为D，
$\because\triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore\angle BAC = 60^{\circ}$，$AC = AB$，
在$\triangle ADC$中，$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
$\therefore AB=|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}$，
$\therefore CD=|\frac{4ac - b^{2}}{4a}|=\frac{b^{2}-4ac}{4|a|}$，
$\therefore \frac{b^{2}-4ac}{4|a|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}$，
$\because b^{2}-4ac\neq0$，$\therefore \sqrt{b^{2}-4ac}=2\sqrt{3}$，
$b^{2}-4ac = 12$；
(3)过点C作$CD⊥AB$于点D，
$\because\angle ACB = 120^{\circ}$，$\therefore AB = 2\sqrt{3}CD$，
$\therefore AB=|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}$，
$\therefore CD=|\frac{4ac - b^{2}}{4a}|=\frac{b^{2}-4ac}{4|a|}$，
$\therefore \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|}=2\sqrt{3}\cdot\frac{b^{2}-4ac}{4|a|}$，
$\because b^{2}-4ac\neq0$，$\therefore b^{2}-4ac=\frac{4}{3}$．

变式．设二次函数$y = x^{2}+mx + 5的图象与x轴的两个交点为A$,$B$,顶点为$C$,且$\angle ACB = 90^{\circ}$,试问此二次函数的图象向上平移多少单位长度,才能使$\angle ACB = 120^{\circ}$．
答案：$\frac{2}{3}$

答案： 解：由典例知$b^{2}-4ac = 4$，
$\therefore m^{2}-20 = 4$，$m^{2}=24$，
设平移后抛物线：$y = x^{2}+mx + n$，
$\Delta = m^{2}-4n=\frac{4}{3}$，$24 - 4n=\frac{4}{3}$，
$\therefore n=\frac{17}{3}=5+\frac{2}{3}$，
故向上平移$\frac{2}{3}$个单位长度．