《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

变式.如图用四个全等的直角三角形纸片拼成下面两个图案,图 1 中大正方形面积为 5,图 2 得到图形外围轮廓周长为 $ 4 + 4 \sqrt { 5 } $,则直角三角形短边长为____1.

答案： 1
解:由图 1 知 $ AB^{2}=5 $，$ AB=\sqrt{5} $，
由图 2 知周长为 $ 4+4\sqrt{5} $，$ \therefore EF=1 $，
设 $ OF=x $，$ \therefore OE=x+1 $，
$ \therefore x^{2}+(x+1)^{2}=5 $，
$ \therefore x_{1}=1 $，$ x_{2}=-2 $（舍）。

【典例 2】已知菱形 $ A B C D $,且 $ A B , B C $ 的长恰好是关于 $ x $ 的方程 $ 2 x ^ { 2 } - 2 m x + m - \frac { 1 } { 2 } = 0 $ 的两个实数根,则此菱形的边长为$\frac{1}{2}$.

答案： $ \frac{1}{2} $
解:$ \Delta =(-2m)^{2}-8\left(m-\frac{1}{2}\right) $
$ =4m^{2}-8m+4=4(m-1)^{2}=0 $，
$ m=1 $，
$ \therefore 2x^{2}-2x+\frac{1}{2}=0 $，
$ x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2} $，菱形的边长为 $ \frac{1}{2} $。

变式.如图,在矩形 $ A B C D $ 中,$ A B = 8 $,$ A D = m $,点 $ P $ 为 $ C D $ 上一动点(不与 $ C , D $ 重合),$ A P \perp P B $,且这样的 $ m $ 有且只有一个,求 $ P D $ 的长.

解:设 $ PD=x $，
$ AP^{2}=m^{2}+x^{2} $，$ PB^{2}=m^{2}+(8-x)^{2} $，
$ \therefore m^{2}+x^{2}+m^{2}+(8-x)^{2}=64 $，
$ \therefore x^{2}-8x+m^{2}=0 $，
$ \Delta =0 $，$ m＞0 $，$ \therefore m=4 $，
此时，$ x_{1}=x_{2}=4 $，$ PD=4 $。

答案： 解:设 $ PD=x $，
$ AP^{2}=m^{2}+x^{2} $，$ PB^{2}=m^{2}+(8-x)^{2} $，
$ \therefore m^{2}+x^{2}+m^{2}+(8-x)^{2}=64 $，
$ \therefore x^{2}-8x+m^{2}=0 $，
$ \Delta =0 $，$ m＞0 $，$ \therefore m=4 $，
此时，$ x_{1}=x_{2}=4 $，$ PD=4 $。

【典例 3】在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle C = 90 ^ { \circ } $,$ A B = 5 $,$ a , b $ 是方程 $ x ^ { 2 } - ( 2 m - 1 ) x + 4 ( m - 1 ) = 0 $ 的两个实数根,则 $ m $ 的值为(B)
A.4 或 -1 B.4 C.-1 D.$ \pm 2 $

答案： B
解:$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25 $，
$ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=25 $，
$ (2m-1)^{2}-8(m-1)=25 $，
$ \therefore m^{2}-3m-4=0 $，
$ m_{1}=4 $，$ m_{2}=-1 $，
又 $ \because x_{1}+x_{2}=2m-1＞0 $，$ \therefore m=4 $。