《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

7.如图,点A,B在$\odot O$上,直线AC是$\odot O$的切线,$OC⊥OB$,连接AB交OC于点D.
(1)求证:$AC= CD$;
(2)若$AC= 2,AO= \sqrt {5}$,求BD的长度.$\sqrt{6}$

答案： 证明:
(1)略;
(2)连接 $OA$, $OC = \sqrt{OA^{2} + AC^{2}} = 3$,
$\because DC = AC = 2$, $\therefore OD = 1$,
$\therefore BD = \sqrt{OB^{2} + OD^{2}} = \sqrt{6}$.

8.已知AB是$\odot O$的直径,CD为$\odot O$切线,$BE⊥CD交\odot O$于点E,交DC于点C.
(1)如图1,若$CD= 4,BE= 6$,则$\odot O$的半径为____5;
(2)如图2,若$CE= 2,BE= 6$,则CD的长为____4;
(3)(2023·鄂州)如图3,若$CE= 1,CD= 2$,求BD的长.$2\sqrt{5}$

答案： 解:
(1)连接 $OD$, 过 $O$ 作 $OM⊥BC$ 于 $M$,
$\therefore BM = EM = 3$,
$\therefore OB = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$;
(2)连接 $OD$, 过 $O$ 作 $OM⊥BE$ 于 $M$,
则 $EM = BM = 3$, $OD = 5$,
$\therefore CD = OM = 4$;
(3)连接 $OD$, 过 $O$ 作 $OM⊥BC$ 于 $M$,
则 $OM = 2$, $BM = EM = R - 1$,
$R$ 为 $\odot O$ 的半径,
$\therefore R^{2} = 2^{2} + (R - 1)^{2}$, $R = \frac{5}{2}$,
$\therefore BD = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$.

9.(2025·南开)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,对角线AC与BD相交于点E,直线AF与$\odot O$相切于点A,直线AF与CB的延长线相交于点F,$BD// AF$.
(1)如图1,$∠F= 50^{\circ }$,AC恰好为$\odot O$直径,求$∠BCD$的大小;
(2)若$AB= 5,BD= 8$,求$\odot O$的半径长.

答案：
解:
(1) $\because AF$ 为 $\odot O$ 的切线, $\therefore ∠FAE = 90^{\circ}$,
又 $\because AF// BD$, $\therefore AC⊥BD$,
$CB = CD$, $∠BCD = 80^{\circ}$;
(2)连接 $OA$, $OB$,