《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

6.(教材P57T7变式)某校准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为a米(如图所示),设平行于墙的一边长为x米,这个苗圃园的面积为y平方米.
(1)求y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
y=-1/2x²+15x
(2)若a= 8,求y的最大值.
88

答案： 解:
(1)$y=-\frac {1}{2}x^{2}+15x;$
(2)$y=-\frac {1}{2}(x^{2}-30x+15^{2}-15^{2})=-\frac {1}{2}(x-15)^{2}+\frac {225}{2},$
$\because 0＜x≤a,a=8,$
且当$x＜15$时,y随x增大而增大,
故当$x=8$时,$y_{最大值}=88.$

7.如图,矩形ABCD的两边长AB= 18cm,AD= 4cm,点P,Q分别从A,B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为$y cm^2.$
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;$y=-x^{2}+9x(0＜x≤4)$
(2)求△PBQ的面积的最大值.$20cm^{2}$

答案： 解:
(1)$\because S_{△PBQ}=\frac {1}{2}PB\cdot BQ,$
$PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,$
$\therefore y=\frac {1}{2}(18-2x)x,$
即$y=-x^{2}+9x(0＜x≤4);$
(2)由
(1)知:$y=-x^{2}+9x,$
$\therefore y=-(x-\frac {9}{2})^{2}+\frac {81}{4},$
$\therefore$当$0＜x≤\frac {9}{2}$时,y随x的增大而增大,$\because 0＜x≤4,$
$\therefore$当$x=4$时,$y_{最大值}=20,$
即$△PBQ$的最大面积是$20cm^{2}.$

8.用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,CD长表示窗框的宽,EF= 0.5米(铝合金条的宽度忽略不计).
(1)求窗框的透光面积S(平方米)与窗框CD的长x(米)之间的函数关系式;
(2)如何设计才能使窗框的透光面积最大?最大面积是多少?
(3)当窗框的面积不小于10平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.

答案：
解:
(1)由$3BC+2×0.5+3x=19$得$BC=6-x,$
所以$S=-x^{2}+6.5x(0＜x＜6);$
(2)当$x=\frac {13}{4}$时,有最大值$\frac {169}{16}$平方米,
∴当$CD=\frac {13}{4}$米,$BC=\frac {11}{4}$米时,透光面积最大为$\frac {169}{16}$平方米;

(3)$\frac {5}{2}≤x≤4.$