《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】如图,直线$y= kx交抛物线于点E,F,EM$$⊥x轴于M,FN⊥x轴于N$,求$OM\cdot ON$的值为4.

答案： $OM\cdot ON$的值为$4$。

变式1.如图,已知直线$y= kx+2与抛物线y= ax^{2}(a＞0)交于A,B$两点,$AM⊥y轴于M$,$BN⊥y轴于N$,求$OM\cdot ON$的值.

4

答案： 解:由
$\left\{ \begin{array}{l} y = kx + 2 \\ y = ax^2 \end{array} \right. $
可得 $ ax^2 - kx - 2 = 0 $，
$ x_1x_2 = -\frac{2}{a} $，
$ \therefore OM \cdot ON = ax_1^2 \cdot ax_2^2 = 4 $。

变式2.如图,已知直线$y= kx-5k(k≠0)与x轴交于点P$,与抛物线$y= ax^{2}(ak＜0)交于A$,$B$两点,$AM⊥x轴于M$,$BN⊥x轴于N$,点$A在点B$的左侧.
(1)求$\frac {1}{ON}-\frac {1}{OM}$的值;$\frac{1}{5}$
(2)求$PM\cdot PN$的值.25

答案： 解:
(1)由
$\left\{ \begin{array}{l} y = kx - 5k \\ y = ax^2 \end{array} \right. $
可得 $ ax^2 - kx + 5k = 0 $，
设 $ M(x_1, 0) $，$ N(x_2, 0) $，
即 $ x_1 ＜ 0 $，$ x_2 ＞ 0 $，
$ \frac{1}{ON} - \frac{1}{OM} = \frac{-(x_1 + x_2)}{-x_1x_2} = \frac{1}{5} $。
(2)$ PM \cdot PN = (5 - x_1)(5 - x_2) = 25 - 5(x_1 + x_2) + x_1x_2 = 25 $。

变式3.如图,已知抛物线$y= ax^{2}(a＞0)$,直线$y= kx+2交抛物线于A,B$两点,$AE⊥x轴于E点与直线BO交于F$点,求$EF$的长.

解:$ A(x_1, ax_1^2) $，$ B(x_2, ax_2^2) $，
$ OB $ 的解析式为 $ y = ax_2x $，
$ EF = -ax_1x_2 $，
又 $ \because $
$\left\{ \begin{array}{l} y = kx + 2 \\ y = ax^2 \end{array} \right. $
$ \therefore ax^2 - kx - 2 = 0 $，
$ x_1 \cdot x_2 = -\frac{2}{a} \Rightarrow ax_1x_2 = -2 $，
$ \therefore EF = $2。

答案： 解:$ A(x_1, ax_1^2) $，$ B(x_2, ax_2^2) $，
$ OB $ 的解析式为 $ y = ax_2x $，
$ EF = -ax_1x_2 $，
又 $ \because $
$\left\{ \begin{array}{l} y = kx + 2 \\ y = ax^2 \end{array} \right. $
$ \therefore ax^2 - kx - 2 = 0 $，
$ x_1 \cdot x_2 = -\frac{2}{a} \Rightarrow ax_1x_2 = -2 $，
$ \therefore EF = 2 $。