《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例 1】(教材 P87 例 4) 如图,$\odot O$ 的直径 $AB$ 为 10,弦 $AC$ 为 6,$\angle ACB$ 的平分线交 $\odot O$ 点 $D$,则 $BD$ 的长为$5\sqrt{2}$。

答案： $5\sqrt{2}$

变式 1. 求 $CD$ 的长。

解:延长 CB 至点 E,使$BE = AC$,
连接 BD,AD,ED,
$\therefore \triangle CAD\cong \triangle EBD$,
$CD = DE = $$7\sqrt{2}$.

答案： 解:延长 CB 至点 E,使$BE = AC$,
连接 BD,AD,ED,
$\therefore \triangle CAD\cong \triangle EBD$,
$CD = DE = 7\sqrt{2}$.

变式 2. 过点 $B$ 作 $BM\perp CD$ 于点 $M$,求 $DM$ 的长。

解:连接 BD,$\because BC = 8$,
$\therefore BM = 4\sqrt{2}$,
而$BD = 5\sqrt{2}$,
$\therefore DM = $$3\sqrt{2}$.

答案： 解:连接 BD,$\because BC = 8$,
$\therefore BM = 4\sqrt{2}$,
而$BD = 5\sqrt{2}$,
$\therefore DM = 3\sqrt{2}$.

【典例 2】(2022·武汉) 如图,$\triangle ABC$ 为 $\odot O$ 内接三角形,$AB$ 为直径,$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $\odot O$ 于 $D$,$BE$ 平分 $\angle ABC$ 交 $AD$ 于 $E$,$AB = 10$,$BE = 2\sqrt{10}$,求 $BC$ 的长。

解:易知$BD = DE = 2\sqrt{5}$,连接 OD,则$OD\perp BC$交 BC 于 F 点,
设$DF = x$,
$(2\sqrt{5})^{2}-x^{2}=5^{2}-(5 - x)^{2},x = 2$,
$\therefore BC =$8.

答案： 解:易知$BD = DE = 2\sqrt{5}$,连接 OD,则$OD\perp BC$交 BC 于 F 点,
设$DF = x$,
$(2\sqrt{5})^{2}-x^{2}=5^{2}-(5 - x)^{2},x = 2$,
$\therefore BC = 8$.

变式. 如图,$BC$ 是 $\odot O$ 的直径,点 $A$,$D$ 都在 $\odot O$ 上,若 $\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$,且 $AB = 6$,$BC = 10$,则弦 $AD$ 的长为(C)

A. $7\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{2}$ 或 $7\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$ 或 $8\sqrt{2}$

答案： C