《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例 1】如图,弦 $ CD \perp OM $,垂足为 $ M $,$ MO $ 的延长线交 $ \odot O $ 于 $ E $,若 $ CD = 4 $,$ EM = 8 $,求 $ \overparen { CED } $ 所在圆的半径.

解:设$\odot O$的半径为$R$,连接$OC$,
在$Rt\triangle COM$中,$R^{2}=2^{2}+(8-R)^{2}$,
$\therefore R=$$\frac {17}{4}$.

答案： 解:设$\odot O$的半径为$R$,连接$OC$,
在$Rt\triangle COM$中,$R^{2}=2^{2}+(8-R)^{2}$,
$\therefore R=\frac {17}{4}$.

变式.如图,半径为 $ 2 \sqrt { 5 } $ 的 $ \odot O $ 内有两条互相垂直的弦 $ AB $,$ CD $ 交于点 $ P $,$ AB = 8 $,$ CD = 6 $,求 $ OP $ 的长.

解:过$O$作$OM\perp AB$于$M$点,过$O$作$ON\perp CD$于$N$点,连接$OB$,$OD$,$\therefore OM=PN=2$,$ON=\sqrt {11}$,$\therefore OP=$$\sqrt {15}$.

答案： 解:过$O$作$OM\perp AB$于$M$点,
过$O$作$ON\perp CD$于$N$点,连接$OB$,$OD$,
$\therefore OM=PN=2$,$ON=\sqrt {11}$,
学参考答案一 19
$\therefore OP=\sqrt {15}$.

【典例 2】如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ P $ 为 $ AB $ 上一点,过 $ P $ 作弦 $ MN $. 若 $ \angle NPB = 45 ^ { \circ } $,$ MP = 3 $,$ NP = 5 $,求 $ AB $ 的长.

解:作$OE\perp MN$于$E$,连接$ON$,
$\therefore PE=OE=$1,$NE=$4,
$\therefore ON=\sqrt {OE^{2}+EN^{2}}=$$\sqrt {17}$,
$\therefore AB=$$2\sqrt {17}$.

答案： 解:作$OE\perp MN$于$E$,连接$ON$,
$\therefore PE=OE=1$,$NE=4$,
$\therefore ON=\sqrt {OE^{2}+EN^{2}}=\sqrt {17}$,
$\therefore AB=2\sqrt {17}$.

变式 1.若 $ \angle NPB = 30 ^ { \circ } $,$ AB = 8 $,$ P $ 为 $ OA $ 的中点,求 $ MN $ 的长.

解:作$OE\perp MN$于点$E$,连接$ON$,
$OP=$2,$OE=$1,$MN=$$2\sqrt{15}$.

答案： 解:作$OE\perp MN$于点$E$,连接$ON$,
$OP=2$,$OE=1$,$MN=2\sqrt {15}$.

变式 2.若 $ PM = 3 $,$ PN = 4 $,$ PA = 2 $,求 $ \odot O $ 的半径长为4.

答案： 解:连接$OM$,过$O$点作$OH\perp MN$于$H$点,
$PH=0.5$,
设$OP=x$,$OM=x+2$,
$(x+2)^{2}-3.5^{2}=x^{2}-0.5^{2}$,
$\therefore x=2$,$\therefore R=4$.