《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

9.已知一元二次方程$x^{2}+x-2024= 0的两根为a,b$,则$(a^{2}+a-2025)(b^{2}+b-2023)$的值为(C)
A.0
B.1
C.-1
D.2025

答案： C
解：$\because a^{2}+a-2024=0$，$b^{2}+b-2024=0$，
$\therefore a^{2}+a-2025=-1$，$b^{2}+b-2023=1$，
$\therefore$原式$=-1$。

10.若1与-1是关于$x的方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的根,则$a+c$的值为(B)
A.1
B.0
C.2
D.-2

答案： B

11.已知$m,n是方程x^{2}-2x-1= 0$的两个根,求$n^{2}-2m^{2}-2n+4m$的值.

答案： 解：$\because n^{2}-2n-1=0$，
$m^{2}-2m-1=0$，
$\therefore$原式$=1-2(m^{2}-2m-1)-2=-1$。

12.(1)当方程$(m-1)x^{m^{2}+1}-(m+1)x-2= 0$是关于x的一元二次方程时,求$m$的值.-1
(2)关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^{2}+x+m^{2}-4= 0$有一个根为0,求$m$的值.-2

答案： 解：
(1)$\begin{cases} m^{2}+1=2 \\ m-1\neq 0 \end{cases}$，$\therefore m=-1$。
(2)由题意得：$\begin{cases} m^{2}-4=0, \\ m-2\neq 0, \end{cases}$ $\therefore m=-2$。

13.(教材P4T4改编)根据下列问题列方程:
(1)新年里,一个小组有若干人,若每人给小组其他成员赠送一张贺年卡,则全组共送贺年卡72张,设此小组人数为$x$人,则可列方程为$x(x-1)=72$,化为一般形式是$x^{2}-x-72=0$.
(2)在一次同学聚会时,同学见面后每两人握一次手,共握手28次,设参加聚会的同学有$x$人,则可列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=28$,化为一般形式是$x^{2}-x-56=0$.
(3)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题:“今有圆田一段,中间有个方池,丈量田地待耕犁,恰好三分在记,池面至周有数,每边三步无疑,内方圆径若能知,堪作算中第一.”其大意为:如图有一块圆形的田,中间有一块正方形水池,测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步,从水池边到圆周,每边相距3步远,正方形的边长是$x$步,则列出的方程是$\pi(\frac{x}{2}+3)^{2}-x^{2}=72$.

答案：
(1)$x(x-1)=72$ $x^{2}-x-72=0$
(2)$\frac{1}{2}x(x-1)=28$ $x^{2}-x-56=0$
(3)$\pi(\frac{x}{2}+3)^{2}-x^{2}=72$