《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】(教材 P47T6 变式)如图,抛物线 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c$$ 与 x 轴交于点 $$A ( 1,0 ) , B ( 3,0 )$$.
(1)方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = 0$$ 的解为$x_{1}=1,x_{2}=3$;
(2)不等式 $$a x ^ { 2 } + b x + c ＞ 0$$ 的解集为$x＜1$或$x＞3$;
(3)不等式 $$a x ^ { 2 } + b x + c ＜ 0$$ 的解集为$1＜x＜3$.

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=3$；
(2)$x＜1$或$x＞3$；
(3)$1＜x＜3$

变式.抛物线 $$y = 2 x ^ { 2 } + 4 x + m$$ 与 x 轴交于 A,B 两点,且 $$A B = 2$$.
(1)当 $$y = 0$$ 时,x 的值为$x_{1}=0,x_{2}=-2$;
(2)当 $$y ＜ 6$$ 时,x 的取值范围是$-3＜x＜1$;
(3)当 $$0 ＜ y ＜ 6$$ 时,x 的取值范围是$0＜x＜1$或$-3＜x＜-2$.

答案：
(1)$x_{1}=0,x_{2}=-2$；
(2)$-3＜x＜1$；
(3)$0＜x＜1$或$-3＜x＜-2$.

【典例2】如图,(1)$$a + b + c$$=0; (2)$$4 a + 2 b + c$$＞0;
(3)$$4 a - 2 b + c$$＜0; (4)$$a - b + c$$≤$$a m ^ { 2 } + b m + c$$.

答案：
(1)$=$
(2)$＞$
(3)$＜$
(4)$\leqslant$

变式.如图,(1)2 a + b=0; (2)a - b + c=0;(3)c + 3 a=0; (4)a + b + c≥a m² + b m + c.

答案：
(1)$=$
(2)$=$
(3)$=$
(4)$\geqslant$

【典例3】(2021·元调)已知二次函数 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c ( c ＜ 0 )$$ 的图象开口向上,对称轴为直线 $$x = 1$$,下列结论中一定正确的是①②④(填序号即可).
①$$b ＜ 0$$;②$$4 a + 2 b + c ＜ 0$$;③$$a + c ＞ b$$;④$$a + b ≤ t ( a t + b )$$(t 是一个常数).

答案： ①②④
解：①$a＞0,-\frac {b}{2a}=1\Rightarrow b＜0$；
②由对称性知$x=2,y＜0$，
$\therefore 4a+2b+c＜0$；
③$x=-1$时，$y$的值不确定；
④顶点$(1,a+b+c)$.