《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例1】(2024·江岸)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ },∠ACB= 30^{\circ }$,将$△ABC$绕点C顺时针旋转一定角度得到$△DEC$,点A,B的对应点分别是D,E,连接AD,点E恰好在AC上.
(1)求$∠CAD$的大小;75°
(2)若$AB= 2$,求AE的长.4 - 2√3

答案： 解:
(1)由旋转知 $ CA = CD $，
$ \angle ACD = \angle ACB = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle CAD = 75 ^ { \circ } $；
(2)$ AB = 2 $，$ AC = 4 $，$ CE = BC = 2 \sqrt { 3 } $，
$ \therefore AE = 4 - 2 \sqrt { 3 } $。

变式.(2024·洪山)如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将$△ABE$绕点B顺时针旋转$90^{\circ }到△CBE'$的位置,连接$EE'.$
(1)判断$△BEE'$的形状为______等腰直角三角形;
(2)若$AE= 2,BE= 4,CE= 6$,求$∠BE'C$的度数.135°

答案： 解:
(1)等腰直角三角形；
(2)由 $ \triangle ABE \cong \triangle CBE ^ { \prime } $，
$ CE ^ { \prime } = AE = 2 $，
又 $ \because EE ^ { \prime } = 4 \sqrt { 2 } $，
在 $ \triangle EE ^ { \prime } C $ 中，$ CE ^ { 2 } = EE ^ { \prime 2 } + CE ^ { \prime 2 } $，
$ \therefore \angle EE ^ { \prime } C = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle BE ^ { \prime } C = 135 ^ { \circ } $。

【典例2】(2024·汉阳)如图,$△ABC与△AEF$都是等腰直角三角形,$∠BAC= ∠EAF= 90^{\circ },$$AB= AC,AE= AF$,EF交AB于点D,连接BE,CF.
(1)求证:$△ABE\cong △ACF;$
(2)$△ABE可以看作是由△ACF$绕某点旋转得到的,若$∠ADF= 95^{\circ }$,则旋转中心是点____A____,旋转角的度数为____90°____.

答案：
(1)证明:$ \angle BAE = \angle CAF = 90 ^ { \circ } - \angle BAF $，
在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle ACF $ 中，$ AE = AF $，$ \angle EAB = \angle CAF $，
$ AB = AC $，
$ \therefore \triangle ABE \cong \triangle ACF $；
(2)旋转中心为 $ A $ 点，顺时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $。

(1)判断△ACE的形状;等腰三角形
(2)连接CE,若CE⊥BD,求∠BAC的度数.90°

答案： 解:
(1)$ \because AC = AE $，
$ \therefore \triangle ACE $ 为等腰三角形；
(2)$ \because \angle CAE = 140 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle ACE = 20 ^ { \circ } $。
又 $ \because AB = AD $，$ \angle B = \angle ADB = 20 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle BAC = 90 ^ { \circ } $。