《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

【典例】抛物线$y = x ^ { 2 } - 2 x - 3$与x轴交于A，B两点.如图,直线$y = kx - 1$与抛物线交于P，Q两点,且y轴平分线段PQ,求k的值.

解:设 PQ 交 y 轴于 M,作 $ PE \perp y $ 轴于 E,$ QF \perp y $ 轴于 F,
$ \because MP = MQ,\therefore PE = QF $,
$ \therefore x_{P} + x_{Q} = 0 $,
联立 $ \left\{ \begin{array} { l } { y = k x - 1 } \\ { y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 } \end{array} \right. $,
$ \therefore x ^ { 2 } - ( 2 + k ) x - 2 = 0 $,
$ k = $-2.

答案： 解:设 PQ 交 y 轴于 M,作 $ PE \perp y $ 轴于 E,$ QF \perp y $ 轴于 F,
$ \because MP = MQ,\therefore PE = QF $,
$ \therefore x_{P} + x_{Q} = 0 $,
联立 $ \left\{ \begin{array} { l } { y = k x - 1 } \\ { y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 } \end{array} \right. $,
$ \therefore x ^ { 2 } - ( 2 + k ) x - 2 = 0 $,
$ k = - 2 $.

变式1.抛物线$y = x ^ { 2 } - 2 x - 3与x轴交于A$,$B$两点.如图,若直线$y = \frac { 1 } { 2 } x + t与抛物线交于E$,$F$两点,且$M为EF$的中点,求$M$点的横坐标.

解:联立 $ \left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + t } \\ { y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 } \end{array} \right. $,
$ x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } x - 3 - t = 0 $,
$ x _ { E } + x _ { F } = \frac { 5 } { 2 } $,
$ \therefore x _ { M } = $$\frac{5}{4}$.

答案： 解:联立 $ \left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + t } \\ { y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 } \end{array} \right. $,
$ x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } x - 3 - t = 0 $,
$ x _ { E } + x _ { F } = \frac { 5 } { 2 } $,
$ \therefore x _ { M } = \frac { 5 } { 4 } $.

变式2.如图,直线$AB:y = x + m$交抛物线$y = x ^ { 2 } - 2 x - 3$于A,B两点,且$AB = 4 \sqrt { 2 }$,求$m$的值.

$m=$$-\dfrac{5}{4}$

答案： 解:$ \left\{ \begin{array} { l } { y = x + m } \\ { y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 } \end{array} \right. $
$ \Rightarrow x ^ { 2 } - 3 x - ( 3 + m ) = 0 $.
设 $ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ), B ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $,
$ A B = \sqrt { ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } } $
$ = \sqrt { 2 } | x _ { 2 } - x _ { 1 } | = 4 \sqrt { 2 } $,
$ x _ { 1 } + x _ { 2 } = 3, x _ { 1 } x _ { 2 } = - m - 3 $,
$ \therefore | x _ { 2 } - x _ { 1 } | = \sqrt { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } = \sqrt { 4 m + 21 } $,
$ \therefore 21 + 4 m = 16 $,
$ m = - \frac { 5 } { 4 } $.