《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

8. 根据图象信息写出抛物线的解析式．

y=x²−1;y=−x²+1;y=−2x²+4

答案： y=x²−1;y=−x²+1;y=−2x²+4.

9. 已知 $ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ), B ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $ 在抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 4 $ 上,$ x _ { 2 } ＞ x _ { 1 } ＞ 0 $,则 $ y _ { 1 } $ 与 $ y _ { 2 } $ 的大小关系是(A)
A. $ y _ { 2 } ＞ y _ { 1 } $
B. $ y _ { 2 } ＜ y _ { 1 } $
C. $ y _ { 2 } = y _ { 1 } $
D. 不确定

答案： A

10. 已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 $,当 $ - 1 \leq x \leq 2 $ 时,$ y $ 的取值范围为−2≤y≤2．

答案： −2≤y≤2

11. 抛物线 $ y = x ^ { 2 } + 3 $ 上有两点 $ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ), B ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $,若 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $,则下列结论正确的是(D)
A. $ 0 \leq x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $
B. $ x _ { 2 } ＜ x _ { 1 } \leq 0 $
C. $ x _ { 2 } ＜ x _ { 1 } \leq 0 $ 或 $ 0 \leq x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $
D. $ | x _ { 1 } | ＜ | x _ { 2 } | $

答案： D

12. 如图,抛物线 $ y = x ^ { 2 } + m $ 与 $ x $ 轴交于 $ A, B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,若 $ A ( - 1, 0 ) $．
(1) 求抛物线的解析式；$y=x²−1$
(2) 若 $ A P // B C $,交抛物线于点 $ P $,求 $ P $ 点坐标．$(2,3)$

答案： 解:
(1)y=x²−1;
(2)∠PAB=45°，A(−1,0)，
　　　则AP的解析式为y=x+1，
　　　联立$\begin{cases}y = x + 1\\y = x^2 - 1\end{cases}$，解得P(2,3).

13. 如图,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + 1 $ 经过点 $ ( 2, 2 ) $,点 $ F ( 0, 2 ) $ 为 $ y $ 轴上一点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点 $ P ( 4, t ) $ 在抛物线上,直接写出 $ P F $ 的长为____5；
(3) 若点 $ B $ 在第一象限的抛物线上,且 $ B C \perp x $ 轴于 $ C $,求证：$ B C = B F $．
* 结合勾股定理线段坐标化

答案： 解:
(1)y=$\frac{1}{4}$x²+1;
(2)当x=4时,y=5,
∴P(4,5)，作PM⊥y轴于M点，
∴PF=$\sqrt{4^2 + 3^2}$ = 5;
(3)设B(m,$\frac{1}{4}$m²+1)，
　　　则BF=$\sqrt{m^2 + (\frac{1}{4}m^2 - 1)^2}$ = $\frac{1}{4}m^2 + 1$ = BC.