《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

9.(1)已知$A(1,y_{1}),B(2,y_{2}),C(4,y_{3})$都在抛物线$y= (x-2)^{2}-3$上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$；
(2)已知抛物线$y= (x-m)^{2}-2$,若$x＞1$时,y随x增大而增大,则m的取值范围为$m\leq1$。

答案：
(1)$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$；
(2)$m\leq1$。

10.点$A(m-1,y_{1}),B(m,y_{2})$都在二次函数$y= (x-1)^{2}+n$的图象上.若$y_{1}＜y_{2}$,则m的取值范围为____$m＞\frac{3}{2}$。

答案： $m＞\frac{3}{2}$ 提示：$y_{2}-y_{1}＞0$，$\therefore (m - 1)^{2}-(m - 2)^{2}＞0$，$\therefore m＞\frac{3}{2}$。

11.求符合下列条件的抛物线的解析式.
(1)抛物线的顶点为$(2,-3)$,且经过$(1,-1)$,则抛物线的解析式为$y = 2(x - 2)^{2}-3$；
(2)抛物线的对称轴为直线$x= -1$,y的最大值为3,且过坐标原点,则抛物线的解析式为$y = -3(x + 1)^{2}+3$。

答案：
(1)$y = 2(x - 2)^{2}-3$；
(2)$y = -3(x + 1)^{2}+3$。

12.已知二次函数$y= (x+m)^{2}+k图象的顶点为(1,-4)$.
(1)则此函数的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$；
(2)将此抛物线向左平移使顶点在y轴上,则平移后抛物线的解析式为$y = x^{2}-4$。

答案：
(1)$y = x^{2}-2x - 3$；
(2)$y = x^{2}-4$。

13.将二次函数$y= (x-1)^{2}+2$的图象向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线$y= x^{2}+bx+c$.
(1)求b,c的值并画图；
(2)当$1≤x≤4$时,直接写出函数$y= x^{2}+bx+c$中y的取值范围为____.

答案：
解：
(1)$y=(x - 3)^{2}-1=x^{2}-6x + 8$，$\therefore b = -6$，$c = 8$，如图；

(2)$-1\leq y\leq3$。

14.如图,抛物线的顶点为$(1,-4)$,与y轴交于点$C(0,-3)$,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1,连接BC,点P在线段BC上,$PQ// y$轴交抛物线于点Q,若$PQ= 2$,求Q点坐标；
(3)如图2,D点在对称轴上,且在x轴上方,$AD= 2\sqrt {2},□ADEF$交抛物线线下方于E,F两点,求E点坐标.
(1)抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x - 3$；
(2)Q点坐标为$(1,-4)$或$(2,-3)$；
(3)E点坐标为$(\frac{5}{2},-\frac{7}{4})$.

答案： 解：
(1)设$y = a(x - 1)^{2}-4$，经过$C(0,-3)$，$\therefore a = 1$，$\therefore y = x^{2}-2x - 3$；
(2)易证$BC:y = x - 3$，设$P(t,t - 3)$，则$Q(t,t^{2}-2t - 3)$，$\therefore PQ = y_{P}-y_{Q}=t - 3-(t^{2}-2t - 3)=3t - t^{2}=2$，$t_{1}=2$，$t_{2}=1$，$\therefore Q(1,-4)$或$Q(2,-3)$；
(3)$E(m,n)$，$F(m - 2,n - 2)$代入抛物线解析式得$\begin{cases}m^{2}-2m - 3 = n\\(m - 2)^{2}-2(m - 2)-3 = n - 2\end{cases}$，$\therefore E(\frac{5}{2},-\frac{7}{4})$。